2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第4节 三角函数的图象与性质
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多维层次练24
[A级 基础巩固]
1．(多选题)已知函数f(x)＝，则有( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的最小正周期为
D．函数f(x)在内单调递减
解析：f(x)＝＝＝－tan x(x≠kπ，k∈Z)
所以f(x)的图象关于点对称，在上单调递减，
且f(x)的最小正周期T＝π，因此B、D正确．
答案：BD
2．(2020·临沂市联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.
答案：C
3．(2019·湖南三湘名校教育联盟联考)若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x1
0，则f(x)可以为( )
A．f(x)＝cos B．f(x)＝|sin(π＋x)|
C．f(x)＝－tan x D．f(x)＝1－2cos2 2x
解析：因为f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，所以排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，所以排除C；f(x)＝1－2cos2 2x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为，k∈Z，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增．
答案：B
4．(多选题)同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数”的函数为( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
解析：根据性质①最小正周期是π，排除选项A；对于选项C，当x＝时，y＝cos＝cos ＝－，不是最值，所以排除选项C.
易知y＝cos具有性质①，②，③.
且y＝sin＝sin＝cos.
所以选项B、D均满足性质①，②，③.
答案：BD
5．(多选题)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值可以是( )
A. B．3
C. D．4
解析：由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，令ωx＋＝t，所以f(t)＝2sin t.
在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数f(t)＝2sin t恰有一个最大值点和一个最小值点在区间上．
则
解得
所以≤ω<4，只有D项不满足要求．
答案：ABC
6．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f ＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|＜π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f ＝.
答案：C
7．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为________．
解析：要使函数有意义，
则即
解得
所以2kπ0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是________．
解析：当x∈[0，2π]时，ωx＋∈.
因为f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋<6π，
所以ω∈，故④正确．
y＝sin t在上极值点的个数即为f(x)在[0，2π]上极值点的个数．
由y＝sin t在上的图象(图略)可知f(x)在[0，2π]有且仅有3个极大值点，有2个或3个极小值点，故①正确，②错误．
下面判断③是否正确，
当x∈时，ωx＋∈，
若f(x)在单调递增，则<，即ω<3，
因为≤ω<，故③正确.
答案：①③④
10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
且T＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
注意到x∈，所以令k＝0，
得函数f(x)在上的单调递增区间为，
同理，其单调递减区间为.
[B级 能力提升]
11．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin |x|
解析：作出f(x)＝|cos 2x|的图象，由图象知f(x)＝|cos 2x|的周期T＝，在上递增，A正确．又f(x)＝|sin 2x|在上是减函数，B错误．且f(x)＝cos |x|＝cos x，周期T＝2π，f(x)＝sin |x|不是周期函数，所以C、D均不正确．
答案：A
12．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立，
所以当x＝时，f(x)取得最大值，
即f()＝cos(ω－)＝1，
所以ω－＝2kπ，k∈Z，
所以ω＝8k＋，k∈Z.
因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值.
答案：
13．已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)·sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan(α＋)的值．
解：(1)f(x)＝(2cos2 x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为f ＝，即sin＝1.
因为α∈(0，π)，所以－<α－<，
所以α－＝，故α＝.
所以tan＝＝＝2－.
[C级 素养升华]
14．(多选题)(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；
当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x单调递减，B不正确；
当x∈[0，π]时，sin x≥0，f(x)＝2sin x有两个零点，当x∈[－π，0)时，f(x)＝－2sin x仅有一个零点，故C不正确；
当x≥0时，f(x)＝sin x＋|sin x|，其最大值为2，又f(x)是R
上的偶函数，故f(x)在R上的最大值为2，D正确．
综上A，D正确，B，C不正确．
答案：AD
