【数学】2018届一轮复习人教A版几何概型教案
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
知识点一 几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性______．
答案
1．长度 面积 体积 几何概型
2．(1)无限多 (2)相等
1．判断正误
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )
解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．
(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．
(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．
(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
知识点二 几何概型的概率公式
P(A)＝______________________________________________.
答案
2．(2016·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为.
答案：B
3．(必修③P140练习第1题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
答案：A
4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．
解析：正方形面积为36，则阴影部分面积约为×36＝9.
答案：9
热点一 与长度、角度有关的几何概型问题
【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．
【解析】 (1)记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM
R，∴P＝＝.
(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝＝.
答案：(1)B (2)
热点二 与面积有关的几何概型问题
考向1 与一般几何图形面积有关的问题
【例2】 在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】 记事件A＝，基本事件是△ABC的面积(如图)，
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC且ADAB
＝34)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的2＝，所以P(A)＝＝.
【答案】 D
【总结反思】
求与面积有关的几何概型的概率的方法
(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；
(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解.
考向2 “会面型”几何概型
【例3】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
【解】 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝＝＝
.所以，两人能会面的概率是.
考向3 随机模拟方法的应用
【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设由构成的正方形的面积为S，x＋y<1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝，故选C.
【答案】 C
【总结反思】
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
(1)已知A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B＝{(x，y)|≤y}．若在区域A中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B中的概率为( )
A．1－ B.
C.－1 D.
(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )
A. B.
C. D.
(3)如右图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )
A．7.68 B．8.68
C．16.32 D．17.32
解析：(1)集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B＝{(x，y)|≤y}表示的区域为图中阴影部分，其面积为4－×12×π.所以向区域A内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域B内的概率为＝1－.
(2)∵＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，∴a>b>0，a<2b.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P＝＝1－＝，故选B.
(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概率计算公式可得，＝0.68，而S矩形
＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.
答案：(1)A (2)B (3)C
热点三 与体积有关的几何概型问题
【例5】 一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为＝.
【答案】 C
【总结反思】
对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又V正方体ABCD
－A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝·π·13＝π.∴所求事件概率P(A)＝＝1－.
答案：1－
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
