数学卷·2018届安徽省安庆市桐城中学高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届安徽省安庆市桐城中学高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B． C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．在等差数列{an}中a1=﹣2015，其前n项和为Sn，若2S6﹣3S4=24，则S2015=（　　）‎ A．﹣2014 B．2014 C．2015 D．﹣2015‎ ‎3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（　　）‎ A．63 B．31 C．15 D．7‎ ‎4．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（　　）‎ A．11 B．9 C．12 D．10‎ ‎5．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎7．若tanα=2tan，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（　　）‎ A．都相等，且为 B．不全相等 C．均不相等 D．都相等，且为 ‎9．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）‎ A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）‎ ‎11．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值与最小值的比值 为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．20π D．32π ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知平面直角坐标系中， =（3，4），•=﹣3，则向量在向量的方向上的投影是　　．‎ ‎14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．‎ ‎15．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为　　y的取值范围是　　．‎ ‎16．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费x（万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 利润y（万元）‎ ‎26‎ ‎49‎ ‎56‎ 根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．‎ ‎18．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，．‎ ‎（Ⅰ）若BD=2DC=2，求AD；‎ ‎（Ⅱ）若AB=AD，求：sinB．‎ ‎19．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．‎ ‎20．过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x﹣y|＞10”的概率．‎ ‎22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点 ‎（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）若D为AB中点，∠CA1D=45°且AB=2，设三棱锥F﹣AEC的体积为V1‎ ‎，三棱锥F﹣AEC与三棱锥A1﹣ACD的公共部分的体积为V2，求的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B． C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=R，‎ B={x|lnx＜0}=（0，1），‎ ‎∴A∩B=（0，1）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．在等差数列{an}中a1=﹣2015，其前n项和为Sn，若2S6﹣3S4=24，则S2015=（　　）‎ A．﹣2014 B．2014 C．2015 D．﹣2015‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知条件和等差数列的求和公式可得d的方程，解方程代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意可得2S6﹣3S4=2（6a1+d）﹣3（4a1+d）=12d=24，‎ 解得d=2，又a1=﹣2015，‎ ‎∴S2015=2015a1+d=﹣20152+2015×2014=﹣2015‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（　　）‎ A．63 B．31 C．15 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】A=1，B=1，满足条件A≤5，则执行循环体，依此类推，当B=63，A=6，不满足条件A≤5，退出循环体，从而求出最后的B的值即可．‎ ‎【解答】解：A=1，B=1，满足条件A≤5，则执行循环体，‎ B=3，A=2，满足条件A≤5，则执行循环体，‎ B=7，A=3，满足条件A≤5，则执行循环体，‎ B=15，A=4，满足条件A≤5，则执行循环体，‎ B=31，A=5，满足条件A≤5，则执行循环体，‎ B=63，A=6，不满足条件A≤5，退出循环体，‎ 输出B=63．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（　　）‎ A．11 B．9 C．12 D．10‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】‎ 欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意，以面积为测度，则=‎ ‎∴‎ ‎∴S椭圆=12‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的对称性．‎ ‎【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．‎ ‎【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；‎ 再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，‎ 且长方体长、宽、高分别是1、1、3，‎ 三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，‎ ‎∴该几何体的体积V==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．若tanα=2tan，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．‎ ‎【解答】解：tanα=2tan，则==‎ ‎===‎ ‎========3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎8．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（　　）‎ A．都相等，且为 B．不全相等 C．均不相等 D．都相等，且为 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】先用简单随机抽样的方法剔除，剩下的再按系统抽样的抽取，故可得结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，先用简单随机抽样的方法从2007人中剔除7人，‎ 则剩下的再按系统抽样的抽取时，每人入选的概率为，‎ 故每人入选的概率相等 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．‎ ‎【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；‎ ‎∴y=8；‎ 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，‎ ‎∴x=5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）‎ A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），‎ 即函数的周期是8，‎ 则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），‎ f（80）=f（0），‎ f（﹣25）=f（﹣1），‎ ‎∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，‎ ‎∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），‎ 即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值与最小值的比值 为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出的范围，然后利用配方法求出的最大值与最小值得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（），‎ 联立，得B（3，2）．‎ ‎∴（），‎ 则==．‎ ‎∴当时，，当时，．‎ ‎∴的最大值与最小值的比值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．20π D．32π ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】由已知中得MA=MB=MC=2，求出球半径后，代入球的表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC中，，‎ ‎∴AB=4，‎ 又∵M为AB的中点，‎ ‎∴MA=MB=MC=2，‎ ‎∴三棱锥M﹣ABC外接球的半径R=2，‎ 则外接球的表面积为4πR2=16π，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知平面直角坐标系中， =（3，4），•=﹣3，则向量在向量的方向上的投影是　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据投影的定义便可得出向量在向量方向上的投影为，而由条件，这样即可得出该投影值．‎ ‎【解答】解：向量在向量方向上的投影为：‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出所以的基本事件构成的区域面积，求出事件A构成的区域面积，利用几何概型概率公式求出事件A的概率．‎ ‎【解答】解：据题意知是几何概型 设取出两个数为x，y则所有的基本事件构成 所以S（Ω）=1‎ 设“两数之和小于”为事件A则 A=‎ 所以S（A）=1﹣=‎ 所以P（A）=‎ ‎　‎ ‎15．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为　8　y的取值范围是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，利用基本不等式的性质可得：x+2y=2xy≤，解出即可得出最小值．由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，可得x=＞0，解出即可得出y的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，‎ ‎∴x+2y=2xy≤，化为（x+2y）（x+2y﹣8）≥0，解得x+2y≥8，当且仅当y=2，x=4时取等号．‎ 则x+2y的最小值为8．‎ 由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，∴x=＞0，∴y（y﹣1）＞0，解得y＞1．‎ ‎∴y的取值范围是（1，+∞）．‎ 故答案分别为：8；（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费x（万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 利润y（万元）‎ ‎26‎ ‎49‎ ‎56‎ 根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为　37　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】设数据的值为a，利用回归直线方程恒过样本中心点，求出a．‎ ‎【解答】解：设数据的值为a，‎ 依题意知， =3.5， =，‎ ‎∵利用回归直线方程恒过样本中心点，‎ ‎∴=3.5×9.4+9.1，‎ ‎∴a=37，‎ 故答案为：37．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）得出{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式得出an；‎ ‎（2）计算==（），再使用列项法求出Tn，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn+2=2an，当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2；‎ 当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，‎ 数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an=2×2n﹣1=2n．‎ ‎（2）由（I）得bn=2log22n=2n，∴==（）．‎ Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）‎ ‎= [1﹣++…+]‎ ‎=（1﹣）＜．‎ ‎　‎ ‎18．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，．‎ ‎（Ⅰ）若BD=2DC=2，求AD；‎ ‎（Ⅱ）若AB=AD，求：sinB．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用勾股定理可求AB，求得cosB，进而利用余弦定理可求AD的值．‎ ‎（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理及已知可求，又，即可解得sinB的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵D是直角△ABC斜边BC上一点，，BD=2DC=2，‎ ‎∴AB==，‎ ‎∴cosB==，‎ ‎∴AD==‎ ‎=．‎ ‎（Ⅱ）在△ADC中，即，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴﹣cos2B=sinB，‎ ‎∴=0，‎ 解得．‎ ‎　‎ ‎19．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）设出二次函数的解析式，得到2ax+a+b=2x﹣1，根据系数对应相等，求出a，b的值即可；‎ ‎（2）问题转化为f（x1）﹣kx1＜f（x2）﹣kx2，根据g（x）=f（x）﹣kx在（2，4）递减以及二次函数的性质得到关于k的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0）‎ 由f（0）=3得c=3，‎ 故f（x）=ax2+bx+3．‎ 因为f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，‎ 所以a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=2x﹣1．‎ 即2ax+a+b=2x﹣1，‎ 根据系数对应相等，解得，，‎ 所以f（x）=x2﹣2x+3；‎ ‎（2）由于f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，即有f（x）在（2，4）递增，‎ 设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），‎ ‎|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|即为f（x1）﹣f（x2）＜k（x1﹣x2），‎ 即有f（x1）﹣kx1＜f（x2）﹣kx2，‎ 由题意可得g（x）=f（x）﹣kx在（2，4）递减．‎ 由g（x）=x2﹣（2+k）x+3，对称轴为x=，‎ 即有≥4，解得k≥6，则实数k的取值范围为[6，+∞）．‎ ‎　‎ ‎20．过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程；点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．‎ ‎（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及 •=0，求得b的值，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、‎ 且与y=2x﹣8垂直的直线上，‎ 它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），‎ 半径为，‎ 所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．…‎ ‎（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，‎ 则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，‎ 所以设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程得 ‎2x2﹣（2b+2）x+b2﹣2b=0．‎ 设M（x1，﹣x1+b），N（x2，﹣x2+b），‎ 又•=x1•x2+（b﹣x1）（b﹣x2）=2x1•x2﹣b（x1+x2）=b2﹣3b=0，‎ 解得b=0或b=3，这时△＞0，符合条件，‎ 所以存在直线MN，它的方程为 y=﹣x，或y=﹣x+3符合条件．…‎ ‎　‎ ‎21．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x﹣y|＞10”的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率等于1减去其它小组的频率，第四个小矩形的高等于频率除以组距．‎ ‎（2）这次考试的及格的频率等于60分以上各个组的频率之和，此值即为及格的概率．用各个组的平均值乘以该组的频率，即得所求的平均分．‎ ‎（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有4人，90～‎ ‎100分的学生有2人，满足“|x﹣y|＞10”的选法有 4×2=8种，而所有的取法有 =15种，由此求得“|x﹣y|＞10”的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率为 1﹣10（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．‎ 故第四个小矩形的高为=0.03．如图所示：‎ ‎（2）由于这次考试的及格的频率为10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率为0.75．‎ 由频率分布直方图可得平均分为 0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．‎ ‎（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的学生有40×0.05=2人，记取出的2个人的成绩为x，y，‎ ‎“|x﹣y|＞10”说明选出的2个人一个成绩在[40，50）内，另一个在[50，60）内，‎ 故满足“|x﹣y|＞10”的选法有 4×2=8种，而所有的取法有 =15种，‎ 故满足“|x﹣y|＞10”的概率等于．‎ ‎　‎ ‎22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点 ‎（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）若D为AB中点，∠CA1D=45°且AB=2，设三棱锥F﹣AEC的体积为V1，三棱锥F﹣AEC与三棱锥A1﹣ACD的公共部分的体积为V2，求的值．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由AE⊥BC，AE⊥BB1得出AE⊥平面B1BCC1，故而平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）由CD⊥A1D可得A1D=CD=，从而得出AA1=，于是V1=VF﹣AEC=，设AE，CD的交点为O，AF，A1C的交点为G，过G作GH⊥AC于H，则由△A1GA∽△CGF得出GH，从而V2=VG﹣AOC=．‎ ‎【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，‎ ‎∴AE⊥BB1，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ 又BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，‎ ‎∴AE⊥平面B1BCC1，‎ 又AE⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面B1BCC1．‎ ‎（2）由（1）得AE⊥平面B1BCC1，‎ 同理可得：CD⊥平面AA1B1B，‎ ‎∴CD⊥A1D，‎ ‎∵AB=2，∴AD=1，CD=，‎ ‎∵∠CA1D=45°，∴A1D=CD=，‎ ‎∴AA1==．‎ ‎∴FC==．‎ ‎∴V1=VF﹣AEC===．‎ 设AE，CD的交点为O，AF，A1C的交点为G，过G作GH⊥AC于H，‎ ‎∵△A1GA∽△CGF，‎ ‎∴，‎ ‎∴GH==，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴S△AOC=S△ACD==，‎ ‎∴V2=VG﹣AOC===．‎ ‎∴==．‎