2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案文（全国通用）

2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案文（全国通用）

第 1 讲 三角函数的图象与性质 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行 考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择 题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单 调区间等，主要以解答题的形式考查. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝sin 2x＋π 3 的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π D.π 2 解析 由题意 T＝2π 2 ＝π. 答案 C 2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对 称轴为( ) A.x＝kπ 2 －π 6 (k∈Z) B.x＝kπ 2 ＋π 6 (k∈Z) C.x＝kπ 2 －π 12 (k∈Z) D.x＝kπ 2 ＋π 12 (k∈Z) 解析 由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移π 12 个单位长度后得到函数的解析式为 y＝ 2sin 2x＋π 6 ，由 2x＋π 6 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)得函数的对称轴为 x＝kπ 2 ＋π 6 (k∈Z). 答案 B 3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝cos x＋π 3 ，则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线 x＝8π 3 对称 C.f(x＋π)的一个零点为 x＝π 6 D.f(x)在 π 2 ，π 单调递减 解析 函数 f(x)＝cos x＋π 3 的图象可由 y＝cos x 的图象向左平移π 3 个单位得到，如图可知， f(x)在 π 2 ，π 上先递减后递增，D 选项错误. 答案 D 4.(2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3 4 x∈ 0，π 2 的最大值是________. 解析 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3 4 x∈ 0，π 2 ， f(x)＝1－cos2x＋ 3cos x－3 4 ， 令 cos x＝t 且 t∈[0，1]， y＝－t2＋ 3t＋1 4 ＝－ t－ 3 2 2 ＋1， 则当 t＝ 3 2 时，f(x)取最大值 1. 答案 1 考 点 整 合 1.常用三种函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增区间 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π 2 ， kπ＋π 2 递减区间 2kπ＋π 2 ，2kπ＋3π 2 [2kπ，2kπ＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0) kπ＋π 2 ，0 kπ 2 ，0 对称轴 x＝kπ＋π 2 x＝kπ 周期性 2π 2π π 2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 热点一 三角函数的图象 命题角度 1 三角函数的图象变换 【例 1－1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 在某一个周期 内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图象.若 y＝ g(x)图象的一个对称中心为 5π 12 ，0 ，求θ的最小值. 解 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π 6 .数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13 12 π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数表达式为 f(x)＝5sin 2x－π 6 . (2)由(1)知 f(x)＝5sin 2x－π 6 ，根据图象平移变换， 得 g(x)＝5sin 2x＋2θ－π 6 . 因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令 2x＋2θ－π 6 ＝kπ，k∈Z， 解得 x＝kπ 2 ＋π 12 －θ，k∈Z. 由于函数 y＝g(x)的图象关于点 5π 12 ，0 成中心对称， 令kπ 2 ＋π 12 －θ＝5π 12 ，k∈Z，解得θ＝kπ 2 －π 3 ，k∈Z. 由θ>0 可知，当 k＝1 时，θ取得最小值π 6 . 探究提高 1.“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π 2 ，π，3π 2 ，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 命题角度 2 由函数的图象特征求解析式 【例 1－2】 (1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示，则函 数 f(x)的解析式为( ) A.f(x)＝2sin x－π 6 B.f(x)＝2sin 2x－π 3 C.f(x)＝2sin 2x＋π 12 D.f(x)＝2sin 2x－π 6 (2)(2017·济南调研)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示， 若 x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A.1 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 解析 (1)由题意知 A＝2，T＝4 5π 12 －π 6 ＝π，ω＝2， 因为当 x＝5π 12 时取得最大值 2， 所以 2＝2sin 2×5π 12 ＋φ ， 所以 2×5π 12 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，解得φ＝2kπ－π 3 ，k∈Z， 因为|φ|<π 2 ，得φ＝－π 3 . 因此函数 f(x)＝2sin 2x－π 3 . (2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2. 又点 －π 6 ，0 是“五点法”中的始点， ∴2× －π 6 ＋φ＝0，φ＝π 3 . 则 f(x)＝sin 2x＋π 3 . 函数图象的对称轴为 x＝ －π 6 ＋π 3 2 ＝π 12 . 又 x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)， 所以x1＋x2 2 ＝π 12 ，则 x1＋x2＝π 6 ， 因此 f(x1＋x2)＝sin 2×π 6 ＋π 3 ＝ 3 2 . 答案 (1)B (2)D 探究提高 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法， 由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【训练 1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分 图象如图所示，其中△EFG 是斜边为 4 的等腰直角三角形(E，F 是函数与 x 轴的交点，点 G 在 图象上)，则 f(1)的值为( ) A. 2 2 B. 6 2 C. 2 D.2 2 (2)(2017·贵阳调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 )的部分图象如 图所示. ①求函数 f(x)的解析式； ②将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1 2 倍，再把所得的函 数图象向左平移π 6 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 0，π 8 上的最 小值. (1)解析 依题设，T 2 ＝|EF|＝4，T＝8，ω＝π 4 . ∵函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且 0<φ<π. ∴φ＝π 2 ， 在等腰直角△EGF 中，易求 A＝2. 所以 f(x)＝2sin π 4 x＋π 2 ＝2cosπ 4 x，则 f(1)＝ 2. 答案 C (2)解 ①设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 A＝1，T 2 ＝2π 3 －π 6 ＝π 2 ， 即 T＝π，所以π＝2π ω ，解得ω＝2， 故 f(x)＝sin(2x＋φ). 由 0＝sin 2×π 6 ＋φ 可得π 3 ＋φ＝2kπ，k∈Z， 则φ＝2kπ－π 3 ，k∈Z， 因为|φ|＜π 2 ，所以φ＝－π 3 ， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝sin 2x－π 3 . ②根据条件得 g(x)＝sin 4x＋π 3 ， 当 x∈ 0，π 8 时，4x＋π 3 ∈ π 3 ，5π 6 ， 所以当 x＝π 8 时，g(x)取得最小值，且 g(x)min＝1 2 . 热点二 三角函数的性质 命题角度 1 三角函数性质 【例 2－1】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tan xsin π 2 －x ·cos x－π 3 － 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的单调性. 解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z}， f(x)＝4tan xcos xcos x－π 3 － 3 ＝4sin xcos x－π 3 － 3 ＝4sin x 1 2 cos x＋ 3 2 sin x － 3 ＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x ＝2sin 2x－π 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得－π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z. 设 A＝ －π 4 ，π 4 ，B＝ x|－π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z ，易知 A∩B＝ －π 12 ，π 4 . 所以当 x∈ －π 4 ，π 4 时，f(x)在区间 －π 12 ，π 4 上单调递增，在区间 －π 4 ，－π 12 上单调递 减. 探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利 用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数. 2.求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函 数增区间(或减区间)，求出的区间即为 y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当 A＞0， ω＜0 时，需先利用诱导公式变形为 y＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区 间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 命题角度 2 三角函数性质的应用 【例 2－2】 (2017·哈尔滨质检)把函数 f(x)＝2sin(x＋2φ) |φ|<π 2 的图象向左平移π 2 个 单位长度之后，所得图象关于直线 x＝π 4 对称，且 f(0)0)的最 小正周期为π. (1)求函数 f(x)的单调递增区间. (2)将函数 f(x)的图象向左平移π 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象， 若 y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值. 解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋ 3(2sin2ωx－1) ＝sin 2ωx－ 3cos 2ωx＝2sin 2ωx－π 3 . 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以 f(x)＝2sin 2x－π 3 ， 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 整理得 kπ－π 12 ≤x≤kx＋5π 12 ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z. (2)将函数 f(x)的图象向左平移π 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y＝2sin 2x＋1 的图象； 所以 g(x)＝2sin 2x＋1. 令 g(x)＝0，得 x＝kπ＋7π 12 或 x＝kπ＋11π 12 (k∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若 y＝g(x)在[0，b]上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个 零点的横坐标即可. 所以 b 的最小值为 4π＋11π 12 ＝59π 12 . 探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或 y＝ Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ 2π |ω| .应特别注意 y＝ |Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为 T＝ π |ω| . 【训练 3】 (2017·山东卷)设函数 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sin ωx－π 2 ，其中 0＜ω＜3，已 知 f π 6 ＝0. (1)求ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象 向左平移π 4 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 －π 4 ，3π 4 上的最小值. 解 (1)因为 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sin ωx－π 2 ， 所以 f(x)＝ 3 2 sin ωx－1 2 cos ωx－cos ωx ＝ 3 2 sin ωx－3 2 cos ωx＝ 3 1 2 sin ωx－ 3 2 cos ωx ＝ 3sin ωx－π 3 . 由题设知 f π 6 ＝0， 所以ωπ 6 －π 3 ＝kπ，k∈Z， 故ω＝6k＋2，k∈Z. 又 0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x－π 3 ， 所以 g(x)＝ 3sin x＋π 4 －π 3 ＝ 3sin x－π 12 . 因为 x∈ －π 4 ，3π 4 ，所以 x－π 12 ∈ －π 3 ，2π 3 ， 当 x－π 12 ＝－π 3 ，即 x＝－π 4 时，g(x)取得最小值－3 2 . 1.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A＝ymax－ymin 2 ，B＝ymax＋ymin 2 . (2)由函数的周期 T 求ω，ω＝2π T . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比 y＝sin x 的性质，只需将 y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成 y＝sin x 中的“x”， 采用整体代入求解. (1)令ωx＋φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，可求得对称轴方程； (2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标； (3)将ωx＋φ看作整体，可求得 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一 角一函数)的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 一、选择题 1.(2017·山东卷)函数 y＝ 3sin 2x＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π 2 B.2π 3 C.π D.2π 解析 ∵y＝2 3 2 sin 2x＋1 2 cos 2x ＝2sin 2x＋π 6 ， ∴T＝2π 2 ＝π. 答案 C 2.(2016·北京卷)将函数 y＝sin 2x－π 3 图象上的点 P π 4 ，t 向左平移 s(s＞0)个单位长度 得到点 P′.若 P′位于函数 y＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t＝1 2 ，s 的最小值为π 6 B.t＝ 3 2 ，s 的最小值为π 6 C.t＝1 2 ，s 的最小值为π 3 D.t＝ 3 2 ，s 的最小值为π 3 解析 点 P π 4 ，t 在函数 y＝sin 2x－π 3 图象上， 则 t＝sin 2×π 4 －π 3 ＝sinπ 6 ＝1 2 . 又由题意得 y＝sin 2（x＋s）－π 3 ＝sin 2x， 故 s＝π 6 ＋kπ，k∈Z，所以 s 的最小值为π 6 . 答案 A 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x＋2π 3 ，则下面结论正确的是( ) A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位 长度，得到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位 长度，得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长 度，得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长 度，得到曲线 C2 解析 易知 C1：y＝cos x＝sin x＋π 2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐 标不变，得到函数 y＝sin 2x＋π 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移π 12 个单位长度，可 得函数 y＝sin 2 x＋π 12 ＋π 2 ＝sin 2x＋2π 3 的图象，即曲线 C2，因此 D 项正确. 答案 D 4.(2017·天津卷)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若 f 5π 8 ＝2， f 11π 8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则( ) A.ω＝2 3 ，φ＝π 12 B.ω＝2 3 ，φ＝－11π 12 C.ω＝1 3 ，φ＝－11π 24 D.ω＝1 3 ，φ＝7π 24 解析 ∵f 5π 8 ＝2，f 11π 8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π， ∴f(x)的最小正周期为 4 11π 8 －5π 8 ＝3π， ∴ω＝2π 3π ＝2 3 ， ∴f(x)＝2sin 2 3 x＋φ . ∴2sin 2 3 ×5π 8 ＋φ ＝2，得φ＝2kπ＋π 12 ，k∈Z， 又|φ|<π，∴取 k＝0，得φ＝π 12 . 答案 A 5.(2017·茂名一模)如图，函数 f(x)＝Asin(2x＋φ) A>0，|φ|<π 2 的图象过点(0， 3)，则 f(x)的图象的一个对称中心是( ) A. －π 3 ，0 B. －π 6 ，0 C. π 6 ，0 D. π 4 ，0 解析 由题中函数图象可知 A＝2，由于函数图象过点(0， 3)，则 2sin φ＝ 3，即 sin φ ＝ 3 2 . 又|φ|<π 2 ，所以φ＝π 3 . 从而 f(x)＝2sin 2x＋π 3 . 由 2x＋π 3 ＝kπ，k∈Z，得 x＝kπ 2 －π 6 ，k∈Z， 取 k＝0，得 f(x)图象的一个对称中心 －π 6 ，0 . 答案 B 二、填空题 6.(2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为________. 解析 f(x)＝2cos x＋sin x＝ 5sin(x＋θ)，其中 tan θ＝2， ∴f(x)的最大值为 5. 答案 5 7.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数 y＝sin 2x 的图象与 y＝cos x 的图象的交点 个数是________. 解析 在区间[0，3π]上分别作出 y＝sin 2x 和 y＝cos x 的简图如下： 由图象可得两图象有 7 个交点. 答案 7 8.(2015·天津卷)已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，则ω的值为________. 解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ 2sin ωx＋π 4 ， 因为 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线 x＝ω对称， 所以 f(ω)必为一个周期上的最大值有ω2＋π 4 ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，所以ω2＝π 4 ＋2kπ，k∈Z. 又ω－(－ω)≤ 2π ω 2 ，即ω2≤π 2 ，即ω2＝π 4 ，所以ω＝ π 2 . 答案 π 2 三、解答题 9.(2017·北京卷)已知函数 f(x)＝ 3cos 2x－π 3 －2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求证：当 x∈ －π 4 ，π 4 时，f(x)≥－1 2 . (1)解 f(x)＝ 3cos 2x－π 3 －2sin xcos x ＝ 3 2 cos 2x＋3 2 sin 2x－sin 2x ＝1 2 sin 2x＋ 3 2 cos 2x＝sin 2x＋π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)证明 由(1)知 f(x)＝sin 2x＋π 3 . ∵x∈ －π 4 ，π 4 ，∴2x＋π 3 ∈ －π 6 ，5π 6 ， ∴当 2x＋π 3 ＝－π 6 ，即 x＝－π 4 时，f(x)取得最小值－1 2 . ∴f(x)≥－1 2 成立. 10.(2016·山东卷)设 f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向 左平移π 3 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g π 6 的值. 解 (1)f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2 3sin2x－(1－2sin xcos x) ＝ 3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－ 3cos 2x＋ 3－1 ＝2sin 2x－π 3 ＋ 3－1， 令 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)， 解得，kπ－π 12 ≤x≤kπ＋5π 12 (k∈Z). 所以，f(x)的单调递增区间是 kπ－π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z). (2)由(1)知 f(x)＝2sin 2x－π 3 ＋ 3－1，经过变换后，g(x)＝2sin x＋ 3－1， 所以 g π 6 ＝2sin π 6 ＋ 3－1＝ 3. 11.(2017·西安模拟)已知函数 f(x)＝sin π 2 －x sin x－ 3cos2x＋ 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)＝2 3 在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值. 解 (1)f(x)＝cos xsin x－ 3 2 (2cos2x－1) ＝1 2 sin 2x－ 3 2 cos 2x＝sin 2x－π 3 . 当 2x－π 3 ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即 x＝ 5 12 π＋kπ(k∈Z)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 x＝ 5 12 π＋kπ，k∈Z， ∴当 x∈(0，π)时，对称轴为 x＝ 5 12 π. 又方程 f(x)＝2 3 在(0，π)上的解为 x1，x2. ∴x1＋x2＝5 6 π，则 x1＝5 6 π－x2， ∴cos(x1－x2)＝cos 5 6 π－2x2 ＝sin 2x2－π 3 ， 又 f(x2)＝sin 2x2－π 3 ＝2 3 ， 故 cos(x1－x2)＝2 3 .