2019-2020学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先得到直线方程的斜率，然后根据的关系，以及的范围，求出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为直线方程是，‎ 所以该直线的斜率，‎ 所以可得，‎ 而 所以该直线的倾斜角是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题.‎ ‎2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）‎ A．，3 B．，3‎ C．，1 D．，1‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆的方程化为标准方程即可得出圆心和半径．‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程是，‎ 故该圆的圆心坐标是，半径是3．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的一般方程的应用，利用配方法配成标准方程是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3．若椭圆的右焦点为，则（ ）‎ A．6 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知椭圆的焦点在x轴，从而得出b、c，然后根据求m．‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的右焦点为，所以，，‎ 所以，则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的应用，属于基础题．‎ ‎4．直线与直线之间的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离，‎ ‎∴直线与直线之间的距离．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x、y的系数必须一致，属于基础题．‎ ‎5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将椭圆方程化为标准方程，然后得，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 将方程化为，‎ 因为它表示焦点在轴上的椭圆，所以，，‎ ‎∴，解得：‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的形式，椭圆的焦点在x轴时，椭圆的方程应满足的条件，属于基础题．‎ ‎6．圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出圆C的圆心C的坐标和半径，根据对称性求出所求圆的圆心与半径，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意有，圆的圆心C，半径为3，设所求圆的圆心为，‎ 由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称，‎ 则，解得，‎ 则所求圆的标准方程是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查关于一条直线的对称的圆的方程，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于中档题．‎ ‎7．已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将点代入得，代入到，根据椭圆的范围进行求解．‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆经过点，所以，所以，‎ 则．‎ 因为椭圆经过点，所以，即，‎ 故的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，属于基础题．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，，，若，则动点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】“建设现代化”――建系、设点、限定条件、代点 ‎、化简．‎ ‎【详解】‎ 设，则，．‎ 因为，所以，‎ 整理得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查代入法求曲线方程，解题步骤可浓缩为“建设现（限）代化”，属于基础题．‎ ‎9．设是椭圆上一点，，分别是该椭圆的左、右焦点．若，则的面积是（ ）‎ A．3 B． C．6 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆定义求出，，又焦距，余弦定理解三角形，再用面积公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 因为是椭圆上的一点，所以，‎ 因为，所以，．‎ 在中，，，，‎ 则，从而，‎ 故的面积．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆中焦点三角形问题，要注意椭圆定义的运用，属于基础题．‎ ‎10．若直线与曲线有公共点，则直线的斜率的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出直线过定点，曲线表示直线上方的半圆，作图后即可求出斜率最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线：，整理得，‎ 由得，故直线过定点，‎ 由得，‎ 曲线表示圆心为，半径为2，且在直线上方的半圆．‎ 要使直线与曲线有公共点，则当直线经过点时，直线的斜率取得最小值．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，常用几何法，属于常考题．‎ ‎11．已知直线，圆，且点是圆上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．对任意的实数与点，直线与圆相切 B．对任意的实数与点，直线与圆相交 C．对任意的实数，必存在实数点，使得直线与圆相切 D．对任意的实数点，必存在实数，使得直线与圆相切 ‎【答案】C ‎【解析】先求出直线经过的定点，判断该点与圆的位置关系，若点在圆内，则直线与圆相交；若点在圆上，则直线与圆相切或相交；若点在圆外，则直线与圆可能相交、相切、相离．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得直线过定点，圆的圆心的坐标为，‎ 则．‎ 因为点是圆上的任意一点，所以，‎ 所以，则由几何知识知点到直线的距离．‎ 所以A，B不正确；若圆心，则不存在，所以D不正确；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，常用几何法研究，属于基础题．‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）‎ A． B． C．0.6 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 设．因为点在椭圆上，所以，所以．‎ 因为，所以，解得．‎ 由题意可知，即．‎ 由，可得，即显然成立．‎ 由，可得，则，解得，‎ 因为，所以，符合条件的只有A选项，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知直线与直线，且，则直线与直线的交点坐标是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，求出a，再解方程组求交点坐标．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以．‎ 联立解得，‎ 故直线与直线的交点坐标是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线垂直的充要条件及求两条直线的交点坐标，属于基础题．‎ ‎14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】直接根据椭圆的定义求值．‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的方程为，所以，．‎ 因为点在椭圆上，所以．‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及标准方程，属于基础题．‎ ‎15．过圆内的一点引此圆的弦，则的最小值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】借助图象可得当过点的弦垂直于时，最短．‎ ‎【详解】‎ 由平面几何知识得，当过点的弦垂直于时，最短，‎ 所以．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查最短弦问题，考查圆的弦长公式，属于基础题．‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，动点在直线上．若椭圆经过点，则椭圆的离心率的最大值是______；此时，椭圆的标准方程是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据标准方程写出焦点坐标，得，椭圆经过点得 ‎，求出点关于直线的对称点，由可得，则，从而求出离心率最大值及此时得椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，椭圆的半焦距．‎ 因为椭圆经过点，所以．‎ 设点关于直线的对称点，则解得，即．‎ 因为点在直线上移动，‎ 所以，所以，‎ 则椭圆的离心率，即的最大值是．此时，，‎ 故椭圆的标准方程是．‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的离心率的范围，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎（1）经过，两点；‎ ‎（2）短轴长为10，离心率为．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）由题意设该椭圆的方程为，代点解方程组即可；‎ ‎（2）直接根据椭圆的几何性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设该椭圆的方程为．‎ 因为椭圆经过，两点，所以 解得，．故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）因为椭圆的短轴长为10，所以，即．‎ 因为该椭圆的离心率为，所以，所以．‎ 因为，所以．‎ 故所求椭圆的标准方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，属于基础题．‎ ‎18．已知的顶点坐标分别为，，．‎ ‎（1）求边上的中线所在的直线的方程；‎ ‎（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式；‎ ‎（2）由直线与直线平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的中点为，因为，，所以．‎ 因为直线的斜率，所以所求直线的方程为，即．‎ ‎（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率．‎ 故的方程为，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题．‎ ‎19．已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（1）当时，求弦长；‎ ‎（2）当时，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）联立直线与椭圆方程消元，写出韦达定理结论，借助弦长公式即可求得弦长；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程消元，写出韦达定理结论，借助弦长公式即可求得弦长，求出点F到直线的距离，根据面积公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以直线的方程为．‎ 设，，联立整理得，‎ 则，，从而，‎ 故弦长．‎ ‎（2）因为为椭圆的右焦点，所以，‎ 所以点到直线的距离．联立，‎ 则，，从而，，‎ 故弦长．‎ 故的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的弦长和焦点三角形面积问题，题目难度不是很大，属于常考题．‎ ‎20．已知圆经过，，三点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求轴被圆截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）8‎ ‎【解析】（1）设出圆M的一般方程，代入三点坐标即可求出；‎ ‎（2）求出圆心和半径，将弦长问题转化为弦心距问题，利用几何法（r为半径、d为弦心距）求出弦长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆的方程为．‎ 因为圆经过 解得，，，则圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）可得圆的圆心，半径．‎ 因为圆的圆心，所以圆到轴的距离，‎ 因为圆的半径，所以轴被圆截得的弦长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的方程，考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，通常用几何法求解，属于常考题．‎ ‎21．已知椭圆经过和两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程及离心率．‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为零？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）存在点，理由见解析 ‎【解析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组即可得出椭圆的方程，根据公式求出椭圆离心率；‎ ‎（2）设，，，联立直线与椭圆方程消元得一元二次方程，得韦达定理，由表示出t，结合韦达定理化简求值即可得出定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得，，‎ 故椭圆的标准方程为．椭圆的离心率．‎ ‎（2）假设存在满足条件的点，则．设，，，‎ 联立整理得，‎ 则，．因为，所以，‎ 所以．‎ 将，代入得，．‎ 综上，存在点，使直线与的斜率之和为零．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求椭圆的标准方程和离心率，考查直线与椭圆的位置关系中的定点、定值问题，属于中档题．‎ ‎22．已知圆过点，且与圆外切于点，过点作圆的两条切线，，切点为，．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）试问直线是否恒过定点？若过定点，请求出定点坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）定点，理由见解析 ‎【解析】（1）由题意可知圆的圆心在轴上，设半径，求出圆心，写出圆的方程，代点即可求出圆的方程；‎ ‎（2）由题意可得，则、、、四点共以为直径的圆，写出圆的方程，求出两圆公共弦所在直线方程，求出定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知圆的圆心在轴上，设半径为，则圆心，‎ 故圆的标准方程为．因为圆过点，所以，解得，‎ 故圆的标准方程为．‎ ‎（2）由题意可得，则，，，四点共圆，且该圆以为直径，圆心坐标为．‎ 故该圆的方程是，即．‎ 因为圆的方程为，所以公共弦所在直线方程为，‎ 整理得．‎ 令解得，故直线过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆的位置关系，考查两圆公共弦所在直线方程，属于中档题．‎