博雅闻道2020届高三上学期第一次高中联合质量测评试题 数学（理）
绝密★启用前
博雅闻道2019－2020年度第一次高中联合质量测评
理数
本试卷共4页 满分150分 考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|f(x)＝，B＝{x|x2－x－12<0}，则A∩B＝
A.{x|2≤x<3} B.{x|2
0 B.m<2 C.－2
11.设α，β是两个不同的平面，点A，B∈α，C，D∈β，下列命题中正确的是
A.若a//β，AC＝BD，则AC//BD，AB＝CD
B.若α//β，AC//BD，则AB＝CD，AD＝BC
C.若α⊥β，AC⊥α，BD⊥α，则AC、BD∈β，AC//BD
D.若AC⊥α，BD⊥β，则AC//BD
12.已知抛物线C与双曲线有共同的焦点F，过抛物线的焦点F，斜率为的直线，分别交C和C的准线于M，N两点，以MN为直径的圆，交C的准线于点P，则P到直线MN的距离是
A. B.2 C.2 D.4
二、填空题：本大题共4小题。每小题5分，共20分，
13.已知向量b＝(－1，2)，a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝ 。
14.已知函数，若函数的极小值不小于0，则实数m的取值范围为 。
15.已知直线l1：x＋ay＋1＝0和直线l2：ax＋4y＋2＝0平行，则实数a的值为 。
16.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝Sn；等差数列{bn}满足b1＝a2，b1＋b3＝a2a3a4。设，则数列{cn}的前n项和Tn为 。
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－－2acsinB＝0，b＝。
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b。点D在边BC上，且BD＝2DC，求sin∠DAC的大小。
18.(12分)
如图在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为A1C1边的中点，CB1∩BC1＝F。
(1)证明：EF//平面A1BC；
(2)若AB＝AC＝AA1＝2，O为BC中点且A1O＝1，∠BAC＝60°，∠BAA1＝∠CAA1，求平面A1CB与平面ABC所成二面角的余弦值。
19.(12分)
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝x＋1与C的交点为A，B，与y轴的交点为M。
(1)若，4，成等差数列，求抛物线C的方程；
(2)若S△AFM＝3S△BFM，求S△AFB。
20.(12分)
在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人。3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败。根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图。
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；
(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为(n＝1，2，3)，其中Pi表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立。
①求该团队挑战成功的概率；
②该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望。
21.(12分)
已知定义在R上的函数f(x)＝[x2－(1＋m)x＋1]ex＋k(m，k∈R)。
(1)求f(x)单调区间；
(2)当m＝1时，证明：若x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1＋x2<2。
(二)选考题，共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(a∈R，t为参数)。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ。
(1)求直角坐标系下直线l与曲线C的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于点A，B(二者可重合)，交y轴于M，若，求∠CBM的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知正数x，y，z，且xyz＝1。
(1)证明：；
(2)证明：(x＋y)2＋(y＋z)2＋(z＋x)2≥12。
