2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．数列的通项公式，则数列各项中最小项是（ ）‎ A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 ‎【答案】B ‎【解析】二次函数的对称轴为，‎ 数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值，‎ 据此可得：数列各项中最小项是第5项.‎ 本题选择C选项.‎ ‎2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）‎ A. -4 B. -6 C. -8 D. -10‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： 成等比数列，所以，解得，‎ ‎.‎ ‎【考点】等差数列与等比数列.‎ ‎3．已知如下程序框图，则输出的是（ ）‎ A．9 B．11 C．13 D．15 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5‎ 经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7‎ 经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9‎ 经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11‎ 经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎4．若，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若，则： ，据此有：‎ ‎，实际上： ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．‎ ‎5．已知数列是递增的等比数列， ， ，则数列的前项和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合等比数列的性质可得： ，‎ 据此可得： ，‎ 结合数列单调递增可得： ，‎ 则数列的公比： ，‎ 结合等比数列前n项和公式可得：数列的前项和等于.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．下列结论，不正确的是（ ）‎ A. 若是假命题， 是真命题，则命题为真命题.‎ B. 若是真命题，则命题和均为真命题.‎ C. 命题“若，则”的逆命题为假命题.‎ D. 命题“， ”的否定是“， ”.‎ ‎【答案】C ‎【解析】A. 若是假命题， 是真命题，则命题为真命题.该命题正确.‎ B. 若是真命题，则命题和均为真命题.该命题正确.‎ C. 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，‎ 该命题为真命题.原命题错误.‎ D. 命题“， ”的否定是“， ”.该命题正确.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7．设是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】设向量的夹角为，‎ 若“”，则，此时“”，即充分性成立；‎ 反之，若“”，当时，“”，即必要性不成立；‎ 综上可得：“”是“”的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. B. 6 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．‎ ‎9．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段 ‎【答案】D ‎【解析】当时，由均值不等式的结论有： ，当且仅当时等号成立.‎ 当时，点的轨迹表示线段,‎ 当时，点的轨迹表示以位焦点的椭圆,‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.‎ ‎10．方程有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得函数与函数有三个交点，‎ 绘制函数图象如图所示，观察可得的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（ ）‎ A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的椭圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，‎ 据此可得，结合可得： ，‎ 则，所给方程化为标准型即： ，‎ 则方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 本题选择B选项.‎ ‎12．如图， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以由题设，由椭圆定义可得，所以，又因为，所以由双曲线的定义可得，所以双曲线的离心率，应选答案D。‎ 二、填空题 ‎13．已知满足约束条件则的最大值为__________.‎ ‎【答案】38‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 结合目标函数的几何意义可知：‎ 目标函数在点处取得最大值.‎ ‎14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为， ， ， ， ，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：‎ ‎，‎ 即这些学生的平均分为64分.‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎15．椭圆内有一点P（3,2），过P点的弦恰好以P点为中点，则此弦所在的直线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设过点的直线与椭圆交于两点其中点，则将两点代入题意方程作差可得：，即．所以直线方程为，整理可得，故答案为．‎ ‎【考点】椭圆中点弦问题．‎ ‎16．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：‎ ‎①若为椭圆，则； ②若为双曲线，则或；‎ ‎③曲线不可能是圆； ④若表示椭圆，且长轴在轴上，则.‎ 其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】当，即时，方程所表示的曲线为圆，则说法①③错误；‎ 若为双曲线，则，解得： 或，说法②正确；‎ 若表示椭圆，且长轴在轴上，则，解得： ，则说法④错误；‎ 综上可得：真命题的序号为②.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题，使得成立；命题：方程有两个不相等正实根；‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得： ，求解不等式有： .‎ ‎(2)由题意有命题一真一假，分类讨论可知：‎ 当真假时， 或，‎ 当假真时无解；‎ 则实数的取值范围是或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， 不恒成立.‎ 由得.‎ ‎（2）设方程两个不相等正实根为 命题为真 由命题“或”为真，且“且”为假，得命题一真一假 ‎①当真假时，则得或 ‎②当假真时，则无解；‎ ‎∴实数的取值范围是或.‎ ‎18．已知等差数列的前项和为， ，且， ，‎ 求（1）， ‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意首先求得公差，据此有， ；‎ ‎(2)当时， ，当时， ，据此分类讨论可得： .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得： ，则： ，‎ 数列的公差为： ，通项公式： ，‎ 首项为，据此可得前n项和.‎ ‎（2）由得当时， ，当时， ‎ 则 即 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎19．已知， ，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）已知，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)整理函数的解析式有： .则函数的最小正周期为.‎ ‎(2)由，可得.则， .‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎.‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎（2）由，得.∴.‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴.‎ ‎20．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直， ， ， .点是边的中点，点分别在线段上，且， .‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求直线与直线所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合线面垂直的判断定理可证得平面，结合线面垂直的定义可得；‎ ‎(2)连接，则为直线与直线所成角或其补角，结合余弦定理可得直线与直线所成角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵且点为的中点，∴，‎ 又平面平面，且平面平面， 平面，‎ ‎∴平面，又平面 ‎∴；‎ ‎（2）如下图所示，连接，‎ ‎∵， 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴为直线与直线所成角或其补角，‎ 在中， ， ，‎ 由余弦定理可得 ，‎ ‎∴直线与直线所成角的余弦值为.‎ ‎21．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点．‎ ‎（1）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用垂径定理得到，取的中点N，则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧 则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．写出圆方程，进一步求得x的取值范围，（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆的切线，切点为Q，判断切点在圆弧上，又 ，所以．‎ 试题解析：（1）取AB的中点M，连接．根据垂径定理有即．取的中点N 则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．其所在圆的方程为，联立解得 所以C: ‎ ‎（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆的切线，切点为Q，下面判断切点的横坐标是否在内，作出圆 ，C为的圆心，P为（2）中圆弧上端点，P作，则由相似三角形得， 而所以切点Q在（2）求得的圆弧上，又 ，所以．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系的综合应用．‎ ‎22．已知椭圆G：，过点作圆的切线交椭圆G于A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）将表示为m的函数，并求的最大值．‎ ‎【答案】（1）焦点坐标为，，；‎ ‎（2），，2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的关系式，再利用基本不等式进行求解．‎ 试题解析：（1）由已知得：，所以．‎ 所以椭圆G的焦点坐标为，．‎ 离心率为．‎ ‎（2）由题意知：．‎ 当时，切线的方程为，点A，B的坐标分别为，，‎ 此时．‎ 当时，同理可得．‎ 当时，设切线的方程为．由，得 ‎．‎ 设A，B两点的坐标分别为，，则 ‎，．‎ 又由与圆相切，得，即．‎ 所以，‎ 由于当时，，‎ 所以，．‎ 因为，且当时，，‎ 所以的最大值为2．‎ ‎【考点】1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线的方程为的情况．‎