专题40+抛物线（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题40+抛物线（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x ‎【解析】由题意可知p>0，因为抛物线y2＝2px，所以其准线方程为x＝－，因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以|－－2|＝4，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x。故选C。 ‎ ‎9．已知点P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的一个动点，则x0＋|PQ|的最小值为(　　)‎ A．2－1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】设抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过点P(x0，y0)作准线l：x＝－1的垂线，垂足为N，则x0＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|CF|－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0＋|PQ|的最小值是3，故选C．‎ ‎10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为(　　)‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】D　‎ ‎11．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N ‎，则实数t的取值范围是________________．‎ ‎【答案】t>0或t<－3　‎ ‎【解析】因为直线l与圆相切，所以＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，‎ 于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，‎ 解得t>0或t<－3.‎ ‎12．设抛物线C：y2＝2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|＝________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由题意知p＝1，点P的横坐标xP＝2，则由抛物线的定义，‎ 得|PF|＝xP＋＝2＋＝.‎ ‎13．已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．‎ ‎【答案】2x－y－3＝0　‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，且y＝4x1，y＝4x2，两式相减得2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，则直线AB的斜率kAB＝＝2，又弦AB过点P，则所求直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.‎ ‎14．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.‎ ‎【答案】2　‎ ‎15．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。‎ ‎【解析】由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。‎ ‎【答案】x2＝－4y ‎16．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。‎ ‎【解析】设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A，B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a＞0，所以a≥1。‎ ‎【答案】［1，＋∞)‎ ‎17．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。‎ ‎【解析】抛物线焦点F(1,0)，由题意05，故e>。 ‎ ‎21.如图872所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．‎ 图872‎ ‎(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；‎ ‎(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．‎ ‎(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消元得y2－4my－4＝0，‎ 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.‎ ‎|AB|＝|y1－y2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝4(m2＋1)．‎ 所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，‎ 所以直线l的方程是x＝±2y＋1，‎ 即x±2y－1＝0.‎ ‎22．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. ‎ ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为 x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎23．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. ‎ ‎【解析】(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0. ‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 因为＝2 ，‎ 所以y1＝－2y2.‎ 联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎