【数学】2018届一轮复习人教A版第九章第3讲几何概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第九章第3讲几何概型学案

第3讲　几何概型 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P179])‎ ‎1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2．几何概型的概率公式 P(A)＝ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．‎ ‎(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．‎ ‎2．会解三种常见的几何概型 ‎(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；‎ ‎(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．‎ ‎(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．‎ ‎1. 如图，转盘的指针落在A区域的概率为(　　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[答案] C ‎2. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　B　[解析] P＝＝，故选B.‎ ‎3. 如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n0，‎ 所以a－2b<0.‎ 作出的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝＝.‎ ‎[答案] ‎　与体积有关的几何概型[学生用书P181]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ ‎(2)(2017·黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．‎ ‎【解析】　(1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.‎ ‎(2)‎ 由题意可知>，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．‎ ‎【答案】　(1)1－　(2) 与体积有关的几何概型的求法 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．　 ‎ ‎　(2017·长春第二次调研) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为________．‎ ‎[解析] 因为EH∥A1D1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCC1B1.过EH的平面与平面BCC1B1交于FG，则EH∥FG，所以易证明几何体A1ABFED1DCGH和EB1FHC1G分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P＝1－＝1－＝1－＝.‎ ‎[答案] ‎,　　　　　　 　　[学生用书P182])‎ ‎——转化与化归思想在几何概型中的应用 ‎　某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)‎ ‎【解析】　设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎　本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．‎ 若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．‎ ‎　甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　C　[解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|08.‎ 所以P＝＝.‎ ‎3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)‎ A． B．1－ C． D．1－ ‎　B　[解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，‎ 即所求概率P＝＝＝1－.‎ ‎4. 如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　C　[解析] 当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选C.‎ ‎5．(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎　C　[解析] 如图所示，‎ 设点M是BC边的中点，因为＋＋2＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝＝，故选C.‎ ‎6．任取实数a、b∈[－1，1]，则a、b满足|a－2b|≤2的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] 建立 如图所示的坐标系，因为|a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a－2b|≤2的概率为＝.‎ ‎7. 如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．‎ ‎[解析] 设该不规则图形的面积为x平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以根据几何概型的概率计算公式可知＝，解得x＝.‎ ‎[答案] ‎8．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．‎ ‎[解析] 令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝＝0.3.‎ ‎[答案] 0.3‎ ‎9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．‎ ‎[解析] 设事件M＝“动点在三棱锥A－A1BD内”，‎ 则P(M)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎[答案] ‎10．(2017·郑州模拟)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．‎ ‎[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.‎ ‎[答案] ‎11. 如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎ (1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；‎ ‎(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．‎ ‎[解] (1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.‎ ‎(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.‎ ‎12．(2017·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] 由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)⇒⇒ 那么S△ABC＝×10×10sin 75°‎ ‎＝×10×10×＝25(3＋)．‎ 于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.‎ ‎13．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．‎ ‎(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；‎ ‎(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．‎ ‎[解] (1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.‎ 因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，‎ 故所求概率为P1＝＝.‎ ‎(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.‎ ‎14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，‎ 取到标号为2的小球的概率是.‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.‎ ‎①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；‎ ‎②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．‎ ‎[解] (1)依题意＝，得n＝2.‎ ‎(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.‎ ‎②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.‎