2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题（解析版）
2020 届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题
一、填空题
1．设全集 ,若 ，则集合 _________.
【答案】 .
【解析】直接求根据 求出集合 即可.
【详解】
解：因为全集 若 ，
则集合 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查补集的运算，是基础题.
2．已经复数 满足 （i 是虚数单位），则复数 的模是________．
【答案】
【解析】【详解】
，
，故答案为 .
3．已知一组数据 ，…， 的平均数为 a，极差为 d，方差为 ，则数据
，…， 的方差为___________.
【答案】
【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来
数据的平方倍，得到结果．
【详解】
解： ∵数据 ，…， 的方差为 ，
∴数据 ，…， 的方差是 ，
{1,2,3,4,5}U = {1,2,4}U A = A =
{3,5}
{1,2,4}U A = A
{1,2,3,4,5}U = {1,2,4}U A =
A = {3,5}
{3,5}
z ( 2) 1z i i− = + z
10
( 2) 1z i i− = +
1 1 32 3 ,i iz ii i
+ +∴ = + = = −
10z = 10
1 2 3, ,a a a na 2S 12 1,a +
22 1,a + 32 1a + 2 1na +
24S
1 2 3, ,a a a na 2S
12 1,a + 22 1,a + 32 1a + 2 1na + 2 2 22 4S S× =
故答案为： .
【点睛】
此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．
【答案】
【解析】由题设提供的算法流程图可知: ，
应填答案 ．
5．从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个
数为______。
【答案】18
【解析】试题分析：分类讨论：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位；从 0、2
中选一个数字 2，则 2 排在十位或百位，由此可得结论．解：从 0、2 中选一个数字 0，
则 0 只能排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有 =6 种；从 0、2
中选一个数字 2，则 2 排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有 =6
种； 2 排在百位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有 =6 种；故共有 3
=18 种，故答案为 18．
【考点】计数原理
点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键
6．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为
，则双曲线 的渐近线方程为_______．
【答案】
【解析】由双曲线的离心率为 ，可以得到 ，再根据 求出
24S
10
11
1 1 1 1 1011 2 2 3 10 11 11 11S = + +⋅⋅⋅+ = − =× × ×
10
11
2
3A
2
3A
2
3A
2
3A
xOy ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
10 C
3y x= ±
10 10c
a
= 2 2 2a b c+ = ,a b
的关系，从而得出渐近线的方程.
【详解】
解：因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，
故 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以双曲线的渐近线 .
【点睛】
本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出 的关系，从而解决问
题.
7．将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则
为 ．
【答案】4
【解析】试题分析：将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数
的图象，即将函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 y=4sin[2（ x+ ）
]=4sin2x， 所 以 = .
故 答 案 为 ： 4．
【考点】三 角 函 数 的 图 象 平 移 .
8．设定义在 R 上的奇函数 在区间 上是单调减函数，且
，则实数 x 的取值范围是_________
【答案】
【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数 在 上为减函数，则
可以转化为 ，解可得 的取值范围，即可得答
案．
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 10
10c
a
=
2
2 10c
a
=
2 2 2a b c+ =
2 2
2 10a b
a
+ =
2
2 9b
a
= 3=b
a
3y x= ±
,a b
π
6
( )π4sin 2 3y x= − ( )π
4f
π
6
( )π4sin 2 3y x= −
( )π4sin 2 3y x= − π
6
π
6
π
3
− ( )π
4f 4sin 42
π =
( )f x [0, )+∞
( )2 3 (2) 0f x x f− + >
(1,2)
( )f x R
( )2 3 (2) 0f x x f− + > 2 3 2x x− < − x
【详解】
解：根据题意， 是在 上的奇函数，且在区间 上是单调减函数，
则其在区间 上递减，
则函数 在 上为减函数，
，
解得： ；
即实数 x 的取值范围是 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．
9．在锐角三角形 ABC 中 ， ，则 的值为_________.
【答案】79
【解析】由题意可得 ，进而可得 ，而 ，由两角和与差
的正切公式可得．
【详解】
解：∵在锐角三角形 中 ，
，
，
，
，
故答案为：79．
【点睛】
本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．
( )f x R [0, )+∞
( ,0)−∞
( )f x R
( ) ( )2 2 2 23 (2) 0 3 (2) ( 3 ) ( 2) 3 2f x x f f x x f f x x f x x− + > ⇒ − > − ⇒ − > − ⇒ − < −
1 2x< <
(1,2)
(1,2)
3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = − 3tanC
tan A tan B tan tan( )C A B= − +
ABC 3sin 5A =
2 4cos 1 sin 5A A∴ = − =
sin 3tan cos 4
AA A
∴ = =
3 1
tan tan( ) 134 3tan tan[ ( )] 3 11 tan tan( ) 91 4 3
A A BB A A B A A B
+− −∴ = − − = = =+ − − ×
3 13
tan tan 794 9tan tan( ) 3 131 tan tan 31 4 9
A BC A B A B
++∴ = − + = − = − =− − ×
3tan 79C∴ =
10．已知 为数列 的前 n 项和 且 .则 的值
________
【答案】5
【解析】由 ，且 ．取 即可得出．
【详解】
解：∵ ，且 ．
，即 ．
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了递推式的简单应用，是基础题.
11．设正实数 x，y 满足 ，则实数 x 的最小值为______.
【答案】 .
【解析】由正实数 x，y 满足 ，化为 ，可得
，计算即可．
【详解】
解：由正实数 x，y 满足 ，
化为 ，
∴ ，化为 ，
解得 ．
因此实数 x 的最小值为 ．
nS { }na 3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a = 1a
3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a = 2n =
3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a =
1 2 22 6a a a∴ + = − 1 2 6 5a a= − =
x yxy x y
+= -
2 1+
x yxy x y
+= -
( )2 21 0xy x y x+ − + =
( )22 2
2
1 2
1 2
1 4 0
1 0
1 0
x x
xy y x
y y
∆ = − − ≥
− + = >
= >
x yxy x y
+= -
( )2 21 0xy x y x+ − + =
( )22 2
2
1 2
1 2
1 4 0
1 0
1 0
x x
xy y x
y y
∆ = − − ≥
− + = >
= >
4 26 1 0
1
x x
x
− + ≥
>
2 1x ≥ +
2 1+
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，
考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
12．如图正四棱柱 的体积为 27，点 E，F 分别为棱 上的点
（异于端点）且 ，则四棱锥 的体积为___________.
【答案】9
【解析】由 ，由此能求出四棱锥 的体
积．
【详解】
解：连接 ，
∵正四棱柱 的体积为 27，
点 E，F 分别为棱 上的点（异于端点），且 ，
，
，
∴四棱锥 的体积 ．
故答案为：9．
2 1+
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1,B B C C
/ /EF BC 1A AEFD−
1 1 1
1
3A AED E A AD A ADV V S AB− − ∆= = ⋅ 1A AEFD−
DE
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1,B B C C / /EF BC
1 1A AED A FEDV V− −∴ =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 9
3 6 6 2A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C DV V S AB S AB V− − ∆ −∴ = = ⋅ = ⋅ = =
1A AEFD−
1
9A AEFDV − =
【点睛】
本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．
13．已知向量 满足 且 与 的夹角的正切为 ， 与 的夹角的
正切为 ， ，则 的值为___________.
【答案】
【解析】可设 ，由题意可得 ，由两角和
的正切公式，可得 ，再由同角的基本关系式可得 ，再由正弦定理可得
AB，AC，由数量积的定义即可得到所求值．
【详解】
解：可设 ，
由题意可得 ，
则 ，
即为 ，
又 为锐角， ，
可得 ，
同理可得 ，
由正弦定理可得 ，
即有 ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】
, ,a b c 0a b c+ + = a b 1
2
− b c
1
3
− | | 2b = a c⋅
4
5
, ,AB a BC b CA c= = = 1 1tan ,tan2 3B C= =
tan A sin ,sinB C
, ,AB a BC b CA c= = =
1 1tan ,tan2 3B C= =
1 1
tan tan 2 3tan tan( ) 11 11 tan tan 1 2 3
B CA B C B C
++= − + = − = − = −− − ×
135A °=
,B C 2 2 sin 1sin cos 1, cos 2
BB B B
+ = =
5sin 5B =
10sin 10C =
2 | | | |
sin135 5 10
5 10
c a
° = =
2 10 2 5,5 5c a= =
2 10 2 5 2 4| | | | cos45 5 5 2 5a c c a °⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
4
5
本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解
能力，属于中档题．
14．已知 ，若同时满足条件：①
或 ；② .则 m 的取值范围是
________________.
【答案】
【解析】根据 可解得 x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致 f(x)在
是必须是 ，当 m=0 时， 不能做到 f(x)在 时 ，所
以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故 m<0,且此时 2 个根为
，为保证条件成立，只需 ，和大前提
m<0 取交集结果为 ；又由于条件 2 的限制，可分析得出在
恒负，因此就需要在这个范围内 g(x)有得正数的可能，即-4 应该比
两个根中较小的来的大，当 时， ，解得交集为空，舍．当
m=-1 时，两个根同为 ，舍．当 时， ，解得 ，综
上所述， ．
【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉
及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．
二、解答题
15．已知 的面积为 ，且 ，向量
和向量 是共线向量.
（1）求角 C；
（2）求 的边长 c.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可
求得角 C；
( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2xf x m x m x m g x= − + + = −
, ( ) 0x R f x∀ ∈ < ( ) 0
−
4 0m− < <
( , 4), ( )x f x∃ ∈ −∞ −
1 2x x ( 1,0)m∈ − 3 4m− − < −
2 4− > − ( 4, 1)m∈ − − 2 4m < − 2m < −
( 4, 2)m∈ − −
ABC∆ 9 3 ( ) 18AC AB CB⋅ − =
(tan tan ,sin 2 )m A B C= + (1,cos cos )n A B=
ABC∆
3C
π= 3 6
（2）由 得： ，进而利用 的面
积为 ，及余弦定理可求 的边长 c．
【详解】
（1）因为向量 和 是共线向量，
所以 ，
即 ，
化简 ，
即 .
因为 ，所以 ，
从而 .
（2） ，
则 ，于是 .
因为 的面积为 ，
所以 ，
即
解得
在 中，由余弦定理得
，
所以 .
【点睛】
本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正
弦、余弦定理求出三角形的边．
16．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面为矩形，且 AB＝ ，BC＝1，E，F 分别为 AB，
PC 中点.
( ) 18AC AB CB⋅ − = 2
( ) 18AC AB BC AC⋅ + = = ABC∆
9 3 ABC∆
(tan tan ,sin 2 )m A B C= + (1,cos cos )n A B=
cos cos (tan tan ) sin 2 0A B A B C+ − =
sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C+ − =
sin 2sin cos 0C C C− =
sin (1 2cos ) 0C C− =
0 C π< < sin 0C >
1cos ,2C =
3C
π=
( ) 18AC AB CB⋅ − =
18 ( )AC AB CB∴ = ⋅ − 2| |AC AC AC= ⋅ =
| | 18 3 2AC = = 3 2AC =
ABC 9 3
1 sin 9 32 CA CB C⋅ =
1 3 2 sin 9 32 3CB
π× =
6 2CB =
ABC 2 2 2 2 cosAB CA CB CA CB C= + − ⋅
2 2 1(3 2) (6 2) 2 3 2 6 2 2
= + − × × ×
54=
54 3 6AB = =
2
（1）求证：EF∥平面 PAD；
（2）若平面 PAC⊥平面 ABCD，求证：平面 PAC⊥平面 PDE.
【答案】证明：（1）方法一：取线段 PD 的中点 M，连结 FM，AM．
因为 F 为 PC 的中点，所以 FM∥CD，且 FM＝ CD．
因为四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点，
所以 EA∥CD，且 EA＝ CD．
所以 FM∥EA，且 FM＝EA．
所以四边形 AEFM 为平行四边形．
所以 EF∥AM． ……………………… 5 分
又 AM⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD． ………7 分
方法二：连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N，连结 PN．
因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD∥BC，
所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．
1
2
1
2
又 AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以 CE＝NE．
又 F 为 PC 的中点，所以 EF∥NP．………… 5 分
又 NP⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，所以 EF∥平面
PAD． ……………7 分
方法三：取 CD 的中点 Q，连结 FQ，EQ．
在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，所以 AE＝DQ，且 AE∥DQ．
所以四边形 AEQD 为平行四边形，所以 EQ∥AD．
又 AD⊂平面 PAD，EQ⊄平面 PAD，所以 EQ∥平面
PAD． ………………2 分
因为 Q，F 分别为 CD，CP 的中点，所以 FQ∥PD．
又 PD⊂平面 PAD，FQ⊄平面 PAD，所以 FQ∥平面 PAD．
又 FQ，EQ⊂平面 EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面 EQF∥平面 PAD．…………… 5 分
因为 EF⊂平面 EQF，所以 EF∥平面 PAD． ……………………………… 7 分
（2）设 AC，DE 相交于 G．
在矩形 ABCD 中，因为 AB＝ BC，E 为 AB 的中点.所以 ＝ ＝ ．
又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．
又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．
由△DGC 的内角和为 180°，得∠DGC＝90°．即 DE⊥AC． ……………………… 10 分
因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE⊂平面 ABCD，所以 DE⊥平面 PAC，
又 DE⊂平面 PDE，所以平面 PAC⊥平面 PDE． ………………………… 14 分
【解析】略
17．如图，OM，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线 OM 上的一个码
头．已知 ， ，Q 到海岸线 OM，ON 的距离分别为 3 km，
km．现要在海岸线 ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线 AB 经过小岛 Q．
（1）求水上旅游线 AB 的长；
（2）若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P，从水波生成 t h 时
2 DA
AE
CD
DA
2
的半径为 （a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h 的速度
自码头 A 开往码头 B，问实数 a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示： ，直线 的方
程为 ．由 Q 到海岸线 ON 的距离为 km，得 ，解得
，再由两直线交点得 ，利用两点间距离公式得
（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设 小时时，游轮在线段 上的点 处，
而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数
最值问题：
试题解析：（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得： ，直线 的方程为 ．
由 ，及 得 ，∴ ．∴直线 的方程为 ，即
， 由 得 即 ，∴ ，即水上
旅游线 的长为 ．
（2）设试验产生的强水波圆 ，由题意可得 P（3，9），生成 小时时，游轮在线段 上
的点 处，则 ，∴ ．强水波不会波及游轮的航行即
，当 时 ，
当 . ，
，当且仅当 时等号成立，所以，在
时 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．
【考点】函数实际应用，不等式恒成立
18．在平面直角坐标系 中已知椭圆 过点 ，其左、
右焦点分别为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，动点 M 满足 ，且 MA 交椭圆 E
于点 P.
（i）求证： 为定值；
（ii）设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，问：直线 MQ 是否过定点，并说明
理由.
【答案】(1) (2) （i）证明见解析，定值为 4 （ii）直线 过定点
.
【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的 的关系，可得 ，
进而得到椭圆方程；
（2）（i）设 ，求得直线 MA 的方程，代入椭圆方程，解得点 P 的
坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；
（ii）直线 MQ 过定点 O（0，0）．先求得 PB 的斜率，再由圆的性质可得 MQ⊥PB，求
出 MQ 的斜率，再求直线 MQ 的方程，即可得到定点．
【详解】
解：（1）易得 且 ，
解得
所以椭圆 E 的方程为
（2）设 ，
①易得直线 的方程为： ，
xOy
2 2
2: 1( 0)3
x yE a ba
+ = > > 61, 2
1 2F F、 2
2
MB AB⊥
OP OM⋅
2 2
14 2
x y+ = MQ
(0,0)O
, ,a b c ,a b
( )02, ,M y ( )1 1,P x y
2 2
3
1 2 1
2
2
a b
c
a
+ =
=
，
，
2 2 2c a b= −
2
2
4
2
a
b
=
=
，
，
2 2
14 2
x y+ =
( )02, ,M y ( )1 1,P x y
MA 0 0
4 2
y yy x= +
代入椭圆 得， ，
由 得， ，从而 ，
所以示 ，
②直线 过定点 ，理由如下：
依题意， ，
由 得， ，
则 的方程为： ，即 ，
所以直线 过定点 .
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线
方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置
关系，属于中档题．
19．已知数列 满足： （常数 ），
.数列 满足： .
（1）求 的值；
（2）求出数列 的通项公式；
（3）问：数列 的每一项能否均为整数？若能，求出 k 的所有可能值；若不能，请
说明理由.
【答案】(1) ；(2) ； (3) k 为 1，2 时
数列 是整数列.
2 2
14 2
x y+ =
2 2 2
20 0 01 4 08 2 2
y y yx x
+ + + − =
( )2
0
1 2
0
4 8
2 8
y
x y
−
− = +
( )2
0
1 2
0
2 8
8
y
x y
− −
= +
0
1 2
0
8
8y y
y= +
( ) ( )
2
0 0
02 2
0 0
2 8 8, 2,8 8
y yOP OM yy y
− − ⋅ = ⋅ + +
( )2 2
0 0
2 2
0 0
4 8 8 48 8
y y
y y
− −
= + =+ +
MQ (0,0)O
( )
0
2
0
2
00
2
0
8
8 2
2 8
8
PB
y
yk yy
y
+= = −
− −
+
MQ PB⊥ 0
2MQ
yk =
MQ 0
0 ( 2)2
yy y x− = − 0
2
yy x=
MQ (0,0)O
{ }na 1 2 3a a a k= = = 0k > 1
1
1
n n
n
n
K a aa a
−
+
−
+=
( )*3,n n N≥ ∈ { }nb 2
1
n n
n
n
a ab a
+
+
+= ( )*n N∈
1,b 2 ,b 3,b 4b
{ }nb
{ }na
1 3 2b b= = ， 2 4
2 1kb b k
+= = 4 1 1
2 2
n
n
kb k k
+ −= +（ ）
{ }na
【解析】（1）经过计算可知： ，由数列 满足：
（n＝1，2，3，4…），从而可求 ；
（2）由条件可知 ．得 ，两式相减整理得
，从而可求数列 的通项公式；
（3）假设存在正数 k，使得数列 的每一项均为整数，则由（2）可知：
，由 ， ，可求得 ．证
明 时，满足题意，说明 时，数列 是整数列．
【详解】
（1）由已知可知： ，
把数列 的项代入
求得 ；
（2）由
可知： ①
则： ②
①−②有： ，
即：
… ， … ，
；
（3）假设存在正数 k 使得数列 的每一项均为整数，
则由（2）可知： ③，
4 5 6
21, 2, 4a k a k a k k
= + = + = + + { }nb
2
1
n n
n
n
a ab a
+
+
+=
1,b 2 ,b 3,b 4b
1 2 1n n n na a k a a+ − −= + 2 1 1n n n na a k a a+ − += +
2n nb b −= { }nb
{ }na
2 1 2 2 1
2 2 2 2
2
2 1 1
n n n
n n n
a a a
ka a ak
+ −
+
= − + = + −
1a k Z= ∈ 6
24 Za k k
= + + ∈ 1,2k =
1,2k = 1,2k = { }na
4 5 6
21, 2, 4a k a k a k k
= + = + = + +
{ }na 2 1n n n nb a a a= + + +
1 3 2b b= = ， 2 4
2 1kb b k
+= =
1
2
1 n n
n
n
k a aa a
−
−
++ = 3,n n N≥ ∈ ∗（ ）
1 2 1n n n na a k a a+ − −= +
2 1 1n n n na a k a a+ − += +
2 2
1 1
n n n n
n n
a a a a
a a
+ −
+ −
+ +=
2n nb b −=
2 1 2 3n nb b− −∴ = = 1 3
1
2
2a ab a
+= = =
2 2 2n nb b −= = 2 4
2
3
2 1a a kb a k
+ += = =
4 1 1
2 2
n
n
kb k k
+ −∴ = +（ ）
{ }na
2 1 2 2 1
2 2 2 2
2
2 1 1
n n n
n n n
a a a
ka a ak
+ −
+
= − + = + −
由 ， ，可知 ，2.
当 时， 为整数，利用 结合③式可知 的每一项均为整
数；
当 时，③变为 ④
用数学归纳法证明 为偶数， 为整数.
时结论显然成立，假设 时结论成立，
这时 为偶数， 为整数，
故 为偶数， 为整数，
时，命题成立.
故数列 是整数列.
综上所述 k 为 1，2 时数列 是整数列.
【点睛】
本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的
综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题．
20．设函数 .
（1）若 求函数 的单调区间；
（2）若 试判断函数 在区间 内的极值点的个数，并说明理由；
（3）求证：对任意的正数 a 都存在实数 t 满足：对任意的 ， .
【答案】(1) 单调递减区间为 单调递增区间为 . (2) 见解析 (3)证明见解析
【解析】（1）求解 ，利用 ，解不等式求解单调递增区
间，单调递减区间；
（2） ，其中 ，
再次构造函数令 ，分析 的零点情况． ，
令 ，列表分析得出 单调性，求其最小值，
分类讨论求解①若 ，②若 ，③若 的单调性，
1a k Z= ∈ 6
24 Za k k
= + + ∈ 1k =
1k = 2 1 3k
k
+ = 1 2 3, ,a a a Z∈ { }na
2k =
2 1 2 2 1
2 2 2 2
2
5 12
n n n
n n n
a a a
a a a
+ −
+
= − = + −
2 1na − 2na
1n = n k=
2 1na − 2na
2 1 2 2 12n n na a a+ −= − 2 2na +
1n k∴ = +
{ }na
{ }na
( ) ( )ln ,f x x a x x a= − − + a R∈
0a = ( )f x
0a < ( )f x ( )2 2,e e−
( , )x t t a∈ + ( ) 1f x a< −
(0,1) (1, )+∞
( ) lnf x x′ = ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′> <
' ( ) ln af x x x
= − 0x >
( ) lng x x x a= − ( )g x ( ) ln 1g x x′ = +
1( ) 0,g x x e
′ = = ( )g x
1a e
≤ − 2
1 2ae e
− < < − 2
2 0, ( )a f xe
− ≤ <
最大值，最小值，确定有无零点问题；
（3）先猜想 恒成立．
再运用导数判断证明．令 ，求解最大值，得
出 即可．
【详解】
（1）当 时， ， ，
令 ， ，列表分析
1
− 0 +
单调递减 单调递增
故 的单调递减区间为 单调递增区间为 .
（2） ， ，其中 ，
令 ，分析 的零点情况.
令 ， ，列表分析
− 0 +
单调递减 单调递增
，
而 ，
，
( )f x
(1,1 ), ( ) 1x a f x a∈ + < −
' 1( ) ln 1, 1, ( ) 1 0G x x x x G x x
= − + ≥ = − ≤
( ) (1) 0G x G< =
0a = ( ) lnf x x x x= − ( ) lnf x x′ =
( ) 0f x′ = 1x =
x (0,1) (1, )+∞
( )f x′
( )f x
( )f x (0,1) (1, )+∞
( ) ( )lnf x x a x x a= − − + ( ) lnf x x ax′ = − 0x >
( ) lng x x x a= − ( )g x ( ) ln 1g x x′ = +
( ) 0g x′ = 1x e
=
x (0,1e) 1e (1 , )e +∞
( )g x′
( )g x
min
1 1( ) ( )g x g ae e
= = − −
1 1( ) 1n 1f ae aee e
′ = − = − − 2 2 2( ) 2 (2 )f e ae ae−′ = − − = − +
2 2
2 2
1( ) 2 (2 )af e e ae e
′ = − = −
①若 则 ，
故 在 内没有极值点；
②若 ，则 ，
因此 在 有两个零点， 在 内有两个极值点；
③若 则 ， ，
，
因此 在 有一个零点， 在 内有一个极值点；
综上所述当 时， 在 内没有极值点；
当 时， 在 内有两个极值点；
当 时， 在 内有一个极值点.
（3）猜想： ， 恒成立.
证明如下：
由（2）得 在 上单调递增，且 ，
.
因为当 时， ，
所以
故 在 上存在唯一的零点，设为 .由
− 0 +
单调递减 单调递增
1a e
≤ − ( ) ln 0af x x x
′ = − ≥
( )f x 2 2( , )e e−
2
1 2ae e
− < < − 1 1( ) 1n 0f aee e
′ = − < 2 2( ) (2 ) 0f e ae−′ = − + >
2 2
2
1( ) (2 ) 0f e e ae
′ = − >
( )f x′ 2 2( , )e e− ( )f x 2 2( , )e e−
2
2 0ae
− ≤ < 1 1( ) 1 0f n aee e
′ = − < 2 2( ) (2 ) 0f e ae−′ = − + ≤
2 2
2
1( ) (2 ) 0f e e ae
′ = − >
( )f x′ 2 2( , )e e− ( )f x 2 2( , )e e−
1( , ]a e
∈ −∞ − ( )f x 2 2( , )e e−
2
1 2,a e e
∈ − − ( )f x 2 2( , )e e−
2
2 ,0a e
∈ − ( )f x 2 2( , )e e−
(1,1 )x a∈ + ( ) 1f x a< −
( )g x 1( , )e
+∞ (1) 0g a= − <
(1 ) (1 )ln(1 )g a a a a+ = + + −
1x > 1ln 1 (*)x x
> −
1(1 ) (1 )(1 ) 01g a a aa
+ > + − − =+
( )g x (1,1 )a+ 0x
x 0(1, )x 0x 0( ,1 )x a+
( )f x′
( )f x
知 ， .
又 ，而 时， ，
所以 .
即 ， .
所以对任意的正数 a，都存在实数 ，
使对任意的 ，
使 .
补充证明 :
令 ， . ，
所以 在 上单调递增.
所以 时， ，即 .
补充证明
令 ， . ，
所以 在 上单调递减.
所以 时， ，即 .
【点睛】
本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问
题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于 0 得到函数的递增区
间，令导函数小于 0 得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大．
21．已知二阶矩阵 ，矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，属
于特征值 的一个特征向量为 .求矩阵 .
【答案】
【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】
由特征值、特征向量定义可知， ，
即 ，得
(1,1 )x a∈ + ( ) max{ (1), (1 )}f x f f a< +
(1 ) ln(1 ) 1f a a+ = + − 1x > ln 1(**)x x< −
(1 ) ( 1) 1 1 1 (1)f a a a f+ < + − − = − =
(1,1 )x a∈ + ( ) 1f x a< −
1t =
( , )x t t∈ + ∞
( ) 1f x a< −
(*)
1( ) 1n 1F x x x
= + − 1x ≥ 2 2
1 1 1( ) 0xF x x x x
−′ = − = ≥
( )F x [1, )+∞
1x > ( ) (1) 0F x F> = 1ln 1x x
> −
(**)
( ) ln 1G x x x= − + 1x ≥ 1( ) 1 0G x x
′ = − ≤
( )G x [1, )+∞
1x > ( ) (1) 0G x G< = ln 1x x< −
同理可得 解得 ， ， ， .因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，
较为简单
22．在极坐标系中，已知 ，线段 的垂直平分线 与极轴交于点
，求 的极坐标方程及 的面积．
【答案】 的极坐标方程及 , .
【解析】将 转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段 的
中点与直线 的斜率，进而求出直线 l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；
在直角坐标系下，求出点 C 到直线 AB 的距离、线段 AB 的长度，从而得出 的面
积.
【详解】
解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xoy
在平面直角坐标系 xoy 中，
的坐标为
线段 的中点为 ，
故线段 中垂线的斜率为 ，
所以 的中垂线方程为：
化简得： ，
所以极坐标方程为 ，
即 ，
令 ，则 ，
故在平面直角坐标系 xoy 中，C（10,0）
1, , 9,3 3A B
π π
AB l
C l ABC∆
l cos 53
πρ θ − = 20 3ABC∆ 的面积
1, , 9,3 3A B
π π
AB
AB
ABC∆
1, , 9,3 3A B
π π
1 3 9 9 3( , ), ( , )2 2 2 2A B
AB 5 5 3( , )2 2A 3ABk =
AB 1 3
3AB
k k
− −= =
AB 5 3 3 5( )2 3 2y x
−− = −
3 10 0x y+ − =
cos 3 sin 10 0ρ θ ρ θ+ − =
cos( ) 53
πρ θ − =
0y = 10x =
点 C 到直线 AB： 的距离为 ，
线段 ，
故 的面积为 .
【点睛】
本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐
标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.
23．已知实数 满足 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】对 进行转化，转化为含有 形式，然后通过不等关
系得证.
【详解】
解：因为 ，
所以
,得证.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，
考查了学生转化与化归的能力.
24．如图，在四棱锥 中，已知棱 ， ， 两两垂直，长度分别为
1，2，2.若 （ ），且向量 与 夹角的余弦值为 .
3y x= 10 3
5 3
3 1
d = =
+
8AB =
ABC∆ 1 5 3 8 20 32S = × × =
,a b 2a b+ ≤ 2 22 2 4( 2)a a b b a+ − + ≤ +
2 22 2a a b b+ − + 2a b+ ≤
2a b+ ≤
2 22 2a a b b+ − +
2 2 2 2a b a b= − + +
( )( ) ( )2a b a b a b= − + + +
2a b a b= + − +
( )2 2a b a a b= + − + +
2 2a b a a b≤ + + + +
( )2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2a a a a≤ + + = + = + ≤ +
P ABCD− AB AD AP
DC ABλ= Rλ ∈ PC BD 15
15
（1）求 的值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：（1）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建
立空间直角坐标系 ，写出 ， 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出
关于 的方程可求；（2）设岀平面 的法向量为 ，根据 ，
进而得到 ，从而求出 ，向量 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余
弦的公式求出 ，从而得 和平面 所成角的正弦值.
试题解析：（1）依题意，以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建
立空间直角坐标系
，因为 ，所以 ，从而
，则由 ，解得 （舍去）或 .
（2）易得 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ， ，即 ，且 ，所以 ，不妨取 ，
则平面 的一个法向量 ，又易得 ，故
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
λ
PB PCD
2λ = 10
5
A AB AD AP x y z
A xyz− ,PC BD
λ PCD ( ), ,n x y z= n PC
n DC
⊥ ⊥
0
0
⋅ = ⋅ =
n PC
n DC
n PB
cos ,n PB< > PB PCD
A AB AD AP x y z
A xyz−
(1,0,0), (0,2,0), (0,0,2)B D P DC ABλ= ( ,2,0)C λ
( ,2, 2)PC λ= − 15cos , 15PC BD = 10λ = 2λ =
(2,2, 2)PC = − (0,2, 2)PD = − PCD ( , , )n x y z=
0⋅ = n PC 0⋅ = n PD 0x y z+ − = 0y z− = 0x = 1y z= =
PCD (0,1,1)n = (1,0, 2)PB = −
10cos , 5
= ⋅ = − PB n PB n PB PCD 10
5
考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.
25．已知数列 的通项公式为 ， ，记
… .
（1）求 的值；
（2）求所有正整数 n，使得 能被 8 整除.
【答案】(1) ； ； (2)
【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；
（2）通过化简得到 ，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求
结论．
【详解】
解：（1）
…
…
，
{ }na 1 1 5 1 5
2 25
n n
na
+ − = −
n N∈
1 2
1 2n n nS C a C a= + + n
n nC a+
1,S 2S
nS
1 1S = 2 3S = { }*| 3 ,n n k k N= ∈
2 13n n nS S S+ += −
1 2
1 2
n
n n n n nS C a C a C a= + +…+
2
1 21 1 5 1 5
2 25 n nC C
+ += ⋅ + ⋅ +
2
1 21 5 1 5 1 5
2 2 2
n
n
n n nC C C
+ − − + ⋅ − ⋅ + ⋅ +
1 5
2
n
n
nC
− + ⋅
1 1 5 1 51 12 25
n n + − = + − +
1 3 5 3 5
2 25
n n + − = −
即有 ；
；
（2） ，
，
即 ， ，
因此 除以 8 的余数，
完全由 除以 8 的余数确定，
因为 ，
所以 ， ， ，
，
，
由以上计算及 可知，数列 各项除以 8 的余数依次是：
1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,
它是一个以 6 为周期的数列，从而 除以 8 的余数等价于 n 除以 3 的余数，
所以 ，
即所求集合为： .
【点睛】
本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．
1
1S 5 1
5
= ⋅ =
2
1S 3 5 3
5
= ⋅ ⋅ =
1 3 5 3 5
2 25
n
nS n
+ − = −
2
1 3 5 3 52 22 25nS n n+
+ −= + − +
1 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5= 2 2 2 2 2 25
n n n n + − + − + − − ⋅ + − −
13 n nS S+= −
2 13n n nS S S+ += − *n N∈
2nS +
1,n nS S+
1 1,a = 2 1a =
1
1 1 1 1S C a= = 1 2
2 2 1 2 2 3S C a C a= + = 3 2 13 9 1 8S S S= − = − =
4 3 23 24 3 21,S S S= − = − = 5 4 33 63 8 55S S S= − = − =
6 5 43 165 21 144,S S S= − = − = 7 5356 432 55 377S S= − = − =
8 7 63 1131 144 987,S S S= − = − = 9 8 73 2961 377 2584S S S= − = − =
2 13n n nS S S+ += − { }nS
nS
3 ,n k= *k N∈
{ }*| 3 ,n n k k N= ∈
