数学卷·2018届安徽省蚌埠二中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届安徽省蚌埠二中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎2．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5‎ ‎3．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（　　）‎ A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 ‎5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．12+4 B．12 C． D．8‎ ‎9．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（　　）‎ A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0‎ ‎10．直线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ‎①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；‎ ‎③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为　　．‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　．‎ ‎15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为　　．‎ ‎16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．‎ ‎18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．‎ ‎（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．‎ ‎19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．‎ ‎（1）证明：面PQC⊥面DQC；‎ ‎（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，‎ ‎（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；‎ ‎（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．‎ ‎（1）当m=1时，求k的值；‎ ‎（2）当时，求k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为﹣1，即可求解a的值．‎ ‎【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，‎ 所以﹣×3=﹣1，所以a=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，斜率乘积为﹣1时必须直线的斜率存在．‎ ‎　‎ ‎2．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．‎ ‎【解答】解；由圆（x+2）2+y2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r=．‎ 设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0对称的点为（x，y），‎ 则，‎ 解得．‎ ‎∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）．‎ 又∵半径r=．‎ ‎∴圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查点关于直线对称问题，圆的标准方程等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】先根据直线平行的性质求出k的值，后利用平行线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0平行 ‎∴k=﹣8．‎ ‎∴直线kx+6y+2=0可化为4x﹣3y﹣1=0‎ ‎∴两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为d==1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查直线平行的性质和平行线间的距离公式．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（　　）‎ A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】由题意求平面DBB1D1平行的直线，画出图形然后进行判断．‎ ‎【解答】解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，‎ 其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题是一道作图题，解题的关键是画出图形，然后数出来，是高考常考的选择题．‎ ‎　‎ ‎5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】根据直线截距的意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=﹣2k，解得k=﹣2，此时直线为y=﹣2x，‎ 若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，‎ ‎∵直线过点（﹣2，4，），∴，‎ ‎∵|a|=|b|，‎ ‎∴a=b或a=﹣b，‎ 若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，‎ 若a=﹣b，则方程等价为，解得b=6，a=﹣6，此时直线方程为x﹣y=﹣6，‎ 故满足条件的直线有3条，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查直线截距式方程的应用，注意要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．‎ ‎【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；‎ 对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；‎ 对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；‎ 对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．‎ ‎　‎ ‎7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】过两条直线交点的直线系方程．‎ ‎【分析】消元整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，由直线系的知识解方程组可得．‎ ‎【解答】解：∵p，q满足p+2q﹣1=0，∴p=1﹣2q，‎ 代入直线方程px+3y+q=0可得（1﹣2q）x+3y+q=0，‎ 整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，‎ 解方程组可得，‎ ‎∴直线px+3y+q=0必过定点（，﹣）‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线系方程，涉及消元思想和方程组的解法，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．12+4 B．12 C． D．8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图还原原图形如图，然后利用三角形面积公式求解．‎ ‎【解答】解：由三视图可得原几何体如图，‎ AB=BC=BE=DF=2，‎ 则△AEC与△AFC边AC上的高为，‎ ‎∴该几何体的表面积为S==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查空间几何体的三视图，由三视图还原原图形是关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（　　）‎ A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由对称的特点，直线l经过PQ的中点，且l垂直于PQ，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，再由点斜式方程，即可得到．‎ ‎【解答】解：由对称的特点，直线l经过PQ的中点（，），‎ 且PQ的斜率为=﹣1，则l的斜率为1，‎ 则直线l方程为：y﹣=x﹣，‎ 化简即得，x﹣y+1=0，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查点关于直线对称的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．直线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，‎ 则|tanα|=||≥，‎ ‎∴α∈，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ‎①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；‎ ‎③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．‎ 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．‎ ‎【解答】解：直线AB与B1C1 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：‎ 取C1C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，‎ 直线HM必与AB直线相交于某点O．‎ 所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．‎ 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．‎ 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故 ③不正确．‎ 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．‎ 综上，①②④正确，③不正确，‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），圆心C到直线l的距离为定值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：圆C： 即[x﹣（a﹣2）]2+（y﹣）2=16，表示以C（a﹣2，）为圆心，半径等于4的圆．‎ ‎∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|a﹣2﹣1|=|a﹣3|，不是定值．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k=0．‎ 此时，圆心C到直线l的距离h=为定值，与a无关，‎ 故k=，h=，‎ ‎∴d=2=，‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为　x+2y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由M为已知圆内一点，可知过M最长的弦为过M点的直径，故过点M最长的弦所在的直线方程为点M和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．‎ ‎【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣4x+y﹣2=0化为标准方程得：‎ ‎（x﹣2）2+（y+）2=6.25，‎ 所以圆心坐标为（2，﹣），又M（3，0），‎ 根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，‎ 则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，‎ 把两点坐标代入得：‎ 解得：k=﹣，b=1，‎ 则过点M最长的弦所在的直线方程是y=﹣x+1，即x+2y﹣1=0．‎ 故答案为x+2y﹣1=0．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M的直线是本题的突破点．‎ ‎　‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．可得AC⊥BD1，可得BD1⊥平面ACB1．由EF⊥平面AB1C，可得EF∥BD1，可得EF为△ABD1的中位线，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示．‎ 由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．‎ ‎∴AC⊥BD1，‎ 同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A，‎ ‎∴BD1⊥平面ACB1．‎ 又EF⊥平面AB1C，‎ ‎∴EF∥BD1，又点E为AD1的中点，‎ ‎∴点F为AB的中点，‎ 而AB，‎ ‎∴EF==×=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．‎ ‎　‎ ‎15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为　，　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】设出直线的倾斜角，利用直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，判断斜率的符号，倾斜角是锐角，利用α=2β时，或β=2α时，分别求出直线的斜率的值．‎ ‎【解答】解：设直线l1与直线l2的倾斜角为α，β，‎ 因为k＞0，所以α，β均为锐角，‎ 由于直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：‎ ‎（1）α=2β时，tanα=tan2β，有，因为k＞0，解得；‎ ‎（2）β=2α时，tanβ=tan2α，有，因为k＞0，解得．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率的求法以及直线的倾斜角的关系的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为　5：1　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，又（a）2+r2=R2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，‎ 又（a）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．‎ 故答案为5：1．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定半径的关系是关键．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2016秋•蚌山区校级期中）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：直线l0：y=x+1的斜率是1，则直线l的斜率是﹣1．则y﹣1=﹣（x﹣3），‎ 整理，得 y+x﹣4=0．‎ ‎【点评】本题考查了直线方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．‎ ‎（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线MN与A1C所成角的余弦值．‎ ‎（2）求出平面MNC的法向量，进而求出点A1到平面MNC的距离，利用向量法求出△MNC的面积，由此能求出三棱锥A1﹣MNC的体积．‎ ‎【解答】解：（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，‎ 建立空间直角系，‎ 则B（），A1（0，0，2），C（0，2，0），B1（），C1（0，2，2），‎ M（，，1），N（，，2），‎ ‎=（0，1，1），=（0，2，﹣2），‎ ‎=0+2﹣2=0，‎ ‎∴异面直线MN与A1C所成角的余弦值为0．‎ ‎（2）=（0，1，1），=（﹣，，﹣1），=（﹣，﹣，1），‎ 设平面MNC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（，1，﹣1），‎ 点A1到平面MNC的距离d===．‎ ‎||=，||=2，cos＜＞===，‎ ‎∴sin＜＞==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴三棱锥A1﹣MNC的体积V===．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；‎ ‎（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）联立得：，‎ 解得：，‎ ‎∴圆心C（3，2）．‎ 若k不存在，不合题意；‎ 若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，‎ 解得：k=0或k=﹣，‎ 则所求切线为y=3或y=﹣x+3；‎ ‎（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，‎ 化简得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，‎ 又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），‎ ‎∴圆C与圆D的关系为相交或相切，‎ ‎∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，‎ ‎∴1≤≤3，‎ 解得：0≤a≤．‎ ‎【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．‎ ‎（1）证明：面PQC⊥面DQC；‎ ‎（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PQC⊥面DQC．‎ ‎（2）求出面PAB的法向量和平面DQC的法向量，利用向量法能求出面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．‎ ‎∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设=1，则P（0，0，2），Q（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），‎ ‎=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），‎ 设平面PQC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，2，1），‎ 设平面DQC的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，0，﹣1），‎ ‎∵=1+0﹣1=0，‎ ‎∴面PQC⊥面DQC．‎ ‎（2）A（1，0，0），B（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，1，﹣2），‎ 设面PAB的法向量=（x1，y1，z1），‎ 则，取z1=1，得=（2，0，1），‎ 平面DQC的法向量=（1，0，﹣1），‎ 设面PAB与面DQC所成锐二面角的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，‎ ‎（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；‎ ‎（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由题意，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设CD=2，求得D，P，B，Q的坐标，求出及平面PDB的一个法向量由与平面法向量所成角的余弦值的绝对值可得sinθ的值；‎ ‎（2）求出M的坐标，设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得y=‎ ‎．可得N的坐标，再求出平面PBC的一个法向量，由与平面PBC的法向量的数量积为0求得λ值．‎ ‎【解答】解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，‎ 又ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，‎ 分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，‎ ‎∵AB=AD=PD=QC=CD，设CD=2，‎ 则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），‎ ‎，，．‎ 设平面PDB的一个法向量为，‎ 由，取y=1，得．‎ ‎∴sinθ=|cos＜＞|=||=；‎ ‎（2）∵M为AD的中点，∴M（，0，0），设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），‎ 则由，得（0，0，y）=（0，0，λ﹣λy），∴y=．‎ ‎∴N（0，0，），则，‎ 设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由，取x=1，得，‎ 由MN∥面PBC，得，解得，‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题考查线面角，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．‎ ‎（1）当m=1时，求k的值；‎ ‎（2）当时，求k的取值范围．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）当m=1时，点M（0，m）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足，把圆心坐标（1，2）代入直线l：y=kx，可得k的值；‎ ‎（2）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得=+m∈（，4），解此不等式求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）将圆C转化成标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，‎ 当m=1时，点M（0，1）在圆C上，‎ 当且仅当直线l经过圆心C时，满足，即MA⊥MB．‎ ‎∵圆心C的坐标为（1，2），‎ ‎∴k=2．‎ ‎（2）由，‎ 消去y得：（k2+1）x2﹣（4k+2）x+3=0，①‎ 设P（x1，y1）Q（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∵，即（x1，y1﹣m）（x2，y2﹣m）=0，即x1•x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=0，‎ ‎∵y1=kx1，y2=kx2，‎ ‎∴（1+k2）x1•x2﹣km（x1+x2）+m2=0，‎ ‎∴（1+k2）•﹣km•+m2=0，‎ 即=+m，‎ ‎∵‎