2019-2020学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期中考试 数学（理） word版

2019-2020学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期中考试 数学（理） word版

大庆铁人中学2019-2020学年高 二 学年 上 学期 期中 考试 数学试题（理）‎ 本试卷满分150分，答题时长120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）‎ ‎1.已知命题；命题若，则.则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知向量.则“”是“与夹角为锐角”的（ ）‎ A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.宋元时期数学著作中有关于“松竹并生”问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长. 如图是其思想的一个程序框图，输入的分别为，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 ‎ 的取值范围为（ ）‎ ‎（3题图）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.用秦九韶算法计算函数当时的值，则（ ）‎ ‎ A.-2 B.-1 C.0 D.1 ‎ ‎7.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A.若，则 B. 若，则 C.若，则 D. 若则 ‎8.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知空间四边形中，，，.点在上，且，点为重心，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A.命题“”的否定为“”‎ B.命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题 C.若非零向量、满足，则与共线 ‎ D.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充要条件 ‎11.已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线准线的距离为（ ）‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎12.设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)‎ ‎13.将二进制数转化为八进制数为___________.‎ ‎14．下列命题中，不正确的是___________.‎ ‎（1）已知,则是成等差数列的必要不充分条件；‎ ‎（2）是或的充分不必要条件；（3）若，，则；‎ ‎（4）若为真命题，则与至少有一个为真命题.‎ ‎15.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的取值范围为___________.‎ ‎16．已知为坐标原点，椭圆方程为.以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线与圆在轴上方的部分和椭圆在轴上方的部分分别交于、两点，则面积的最大值为____________．‎ 三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知双曲线，为上任意一点.‎ ‎（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；‎ ‎（2）设点，求的最小值.‎ ‎19．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是边的中点，且.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（19题图）‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎20．已知椭圆，以椭圆短轴的一个顶点与两个焦点,为顶点的三角形周长是，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过点作曲线的弦恰好被点平分，求弦所在直线方程.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设点在上，且．判断直线是否在 ‎（21题图）‎ 平面内，说明理由．‎ ‎22.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为4的等边三角形．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点作抛物线互相垂直的两条弦、，求四边形面积的取值范围.‎ 大庆铁人中学2018级高二·上学期期中考试答案 数学试题（理）‎ 一．选择题（60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C C D C D A A C D B 二．填空题（20分）‎ ‎13. 14. (1)(3)(4) ‎ ‎15. 16. ‎ 三．解答题（70分）‎ ‎17.（10分）‎ ‎【详解】‎ 记 ‎，‎ 因为是的充分不必要条件 所以（检验：当时，，满足题意）‎ 故所求的的取值范围是.‎ ‎18．（12分）（1）（2）‎ ‎【详解】（1）渐近线：，设，‎ 到两条渐近线的距离乘积 ‎（2），又 当时，‎ ‎19. （12分）‎ ‎（1）连接,设,连接.因为,所以四边形是正方形，‎ 所以是的中点，又因为D是BC中点，‎ 所以.因为,‎ 所以.‎ ‎（2）由为正三角形，,所以,‎ ‎ ,所以 ‎ 又根据勾股定理得 所以 设点到平面的距离为，由,得 即点到平面的距离为.‎ ‎20．（12分）‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【详解】（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2为顶点的三角形周长是4+2，且∠BF1F2=．∴2a+2c=4+2，，∴a=2，c=∴‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，）引曲线C的弦AB不被点Q平分；‎ 当直线l的斜率为k时，l：y-=k（x-1）与椭圆方程联立，‎ 消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0，设 ‎∵过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，∴，‎ ‎∴解得．‎ ‎∵∴点Q在椭圆内∴直线l：，即l：．‎ ‎∴弦所在的直线方程为 ‎21. （12分）‎ ‎【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．‎ 又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．‎ ‎（2）过A作AD的垂线交BC于点M．‎ 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．‎ 如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．‎ 因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．‎ 所以．‎ 所以.‎ 设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则 即 令z=1，则．‎ 于是．‎ 又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.‎ 由题知，二面角F−AE−P正弦值为.‎ ‎（3）直线AG在平面AEF内．‎ 因为点G在PB上，且，‎ 所以.‎ 由（2）知，平面AEF的法向量.‎ 所以.‎ 所以直线AG在平面AEF内.‎ ‎22．（12分）‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由是边长为4的等边三角形，得，‎ 又由抛物线的定义可得.‎ 设准线与轴交于，则，从而 在中，，即.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）依题意可知，两条直线的斜率存在且均不为0，故设方程为：，‎ 联立消去可得，.‎ 设，则.‎ 所以 ‎ ‎； ‎ 同理得；‎ 四边形ADBE的面积 由，当且仅当，即时等号成立，‎ 所以四边形ADBE面积的最小值为32，‎ 所以四边形ADBE面积的取值范围为.‎