【数学】2019届一轮复习人教A版　函数及其表示学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　函数及其表示学案

第2章　函数、导数及其应用 第1讲　函数及其表示 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　函数与映射的概念 函数 映射 定义 建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 考点2　函数的三要素 函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中 ‎(1)定义域：自变量x的取值构成的集合；‎ ‎(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．‎ 考点3　函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．‎ 考点4　分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不 同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．‎ ‎2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．‎ ‎3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)‎ ‎(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．[课本改编]下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)‎ A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|‎ C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案　C 解析　只有C不满足，∵f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2x＋2，∴f(2x)≠2f(x)．‎ ‎3．[2018·唐山统考]函数y＝＋的定义域为(　　)‎ A．[0,3] B．[1,3]‎ C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)‎ 答案　B 解析　由x(3－x)≥0得0≤x≤3，由x－1≥0得x≥1，所以定义 域为[1,3]．选B.‎ ‎4．[2018·江西模拟]已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．－1‎ 答案　A 解析　∵f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴a＝1.选A.‎ ‎5．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．‎ 答案　[－1,2]‎ 解析　∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，‎ ‎∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，‎ ‎∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　求函数的定义域 例　1　(1)[2018·辽宁模拟]函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]‎ C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]‎ 答案　D 解析　要使函数f(x)有意义，‎ 则x需满足即 所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选D.‎ ‎(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)‎ A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 答案　B 解析　由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1时， f＝3×－b＝4，∴b＝(舍去)．‎ 当－b≥1时，即b≤时，f＝2－b＝4，‎ 即－b＝2，∴b＝.选D.‎ 命题角度3　分段函数与不等式的交汇问题 例　5　设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－3) B．(1，＋∞)‎ C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ 答案　C 解析　若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3－2，故由f(a)＝－3可得－log2(a＋1)＝－3，所以a＝7，从而f(6－a)＝f(－1)＝－.‎ ‎8．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1001)＝，已知f(15)＝1，则f(2017)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　根据题意，f(2017)＝f(1016＋1001)＝‎ ，f(1016)＝f(15＋1001)＝，而f(15)＝1，所以f(1016)＝＝1，则f(2017)＝＝＝1.‎ ‎9．已知函数f(x)＝ln (－x－x2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．‎ 答案　 解析　由题意知，－x－x2>0，∴－10恒成立．‎ ‎①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；‎ ‎②当a≠0时，要使不等式恒成立，则 即解得02的解集是________．‎ 答案　{x|x<－3或x>1}‎ 解析　①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝‎ ‎0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．‎ ‎4．[2018·广东三校联考]设函数f(x)＝ 若f[f(a)]≤3，求实数a的取值范围．‎ 解　令f(a)＝t，则f(t)≤3⇔ 或解得t≥－3，则f(a)≥－3⇔‎ 或 解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]．‎ ‎5．[2017·北京海淀期末]已知函数f(x)＝x·|x|－2x.‎ ‎(1)求函数f(x)＝0时x的值；‎ ‎(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．‎ 解　(1)由f(x)＝0可解得x＝0，x＝±2，所以函数f(x)＝0时x的值为－2,0,2.‎ ‎(2)f(x)＝x|x|－2x，即f(x)＝图象如下：‎ 由图象可得实数m∈(－1,1)．‎