数学理卷·2017届福建省宁德市高三毕业班第二次质量检查（2017

数学理卷·2017届福建省宁德市高三毕业班第二次质量检查（2017

‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 理 科 数 学 本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）设全集,，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）等差数列的公差为2，若,,成等比数列，则的前8项和=‎ ‎ （A）72 （B）56 （C）36 （D） 16‎ ‎（4）已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为．若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，则在下列区间上为减函数的是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 开始 输出 结束 是 否 ‎（5）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则 ‎　　　输出的结果是 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）1‎ ‎（6）已知定义在R上的函数满足，‎ 当时，，则在区间上满足 的实数的值为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（7）若关于的不等式的解集是，‎ 则对任意的正实数，总有 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（８）等腰梯形中，，，．若抛物线恰过四点，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 ‎（A） 　 （B）　　 （C）　 （D）‎ ‎（9）设，为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它 是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．‎ 我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等 建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中 卯的三视图，其体积为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D） ‎ ‎（11）已知是双曲线：的右焦点，是轴正半轴上一点，以 ‎ 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点．若点，，三点共线，且的面积是面积的5倍，则双曲线的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知直线分别与直线 及曲线交于，两点，则，两点间距离的最小值为 ‎（A） （B）3 （C） （D）‎ ‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 理 科 数 学 第II卷 ‎ 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答. 在试题卷上作答，答案无效.‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)、（23）题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）若的展开式中的系数为2，则实数的值为__________．‎ ‎（14）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆．‎ 在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是__________．‎ ‎（15）已知菱形的边长为，．沿对角线将该菱形折成锐二面角，连结．若三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎（16）若数列满足，且，则__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 如图，在中，．为边上的点，为上的点，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经对本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为，不赔不赚的可能性为，亏损30%的可能性为．假设该公司投资本地养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元．‎ ‎（Ⅰ）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅱ）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．试用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．‎ ‎ （19）（本小题满分12分）‎ 在多面体中，四边形是正方形，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线上的任意一点与两点连线的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点作射线，，分别平行于，，交曲线于，两点，‎ 求的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知定义在上的函数满足，且当时，，．‎ ‎　（Ⅰ）若，试讨论函数的零点个数；‎ ‎　（Ⅱ）若，求证：当时，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎　　在直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：． ‎ ‎　　（Ⅰ）当，时，判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎　　（Ⅱ）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且,求直线的倾斜角．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎　　已知函数．‎ ‎　　（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎　　（Ⅱ），使，求的取值范围．‎ ‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）B ‎（7）A （8）C （9）D （10）B （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎（13） （14） （15） （16） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ） ∵，……………………………………………1分 在中，由余弦定理得，………2分 ‎∴，‎ ‎∴，　………………………………………………………4分 ‎∴. ………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）在中，由正弦定理得， ………………6分 ‎∴，‎ ‎∴， ………………………………………………………………7分 ‎∵点在边上，∴，‎ ‎∴只能为钝角，………………………………………………………8分 ‎∴，…………………………………………………………9分 ‎∴ ，………………………………………10分 ‎．……………………………………………………………………12分 ‎（18）本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）随机变量的可能取值为0.6y，0，﹣0.3y，……………………1分 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎﹣0.3y ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………3分 ‎∴；………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）根据题意得，满足的条件为: ①………………………6分 由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为 M 所以本地养鱼场的年利润为千万元. ………………8分 所以明年两个项目的利润之和为 ………9分 作出不等式组①所表示的平面区域如右图所示，即可行域.‎ 当直线经过可行域上的点M时，截距最大，‎ 即最大.………………………………………………………………10分 解方程组解得 ………………………………11分 所以的最大值为千万元． ‎ 即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元 ……………………………12分 ‎19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）四边形是正方形，‎ ‎.‎ P 在中，，即 ‎，即． ………………… 2分 在梯形中，过点E作EP//BF，交AB于点P.‎ ‎∵EF//AB,∴EP=BF=2.，PB=EF=1，‎ ‎∴AP=AB-PB=1‎ 在中，可求，‎ ‎∴‎ ‎∴..………………………………………… 4分 ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面.……………………………… 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面.…………………6分 如图，过作平面的垂线，‎ 以点为坐标原点，所在直线分别 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，．……………7分 设，，则.‎ 设平面的一个法向量则，‎ 即令 ，得 ‎……………………………………………………………9分 易知平面的一个法向量. ………………………………………8分 由已知得，‎ 化简得，‎ ‎． ……………………………………………………………………………11分 ‎∴当点满足时，平面与平面所成角的大小为.………12分 ‎ ‎20．本题主要考查直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）∵圆过点，，‎ ‎∴圆心在直线上，………………………………………………………………1分 又圆心在直线上，‎ ‎∴当时，，即圆心为.……………………………………2分 又与的距离为，‎ ‎∴圆的方程为.………………………………………………3分 令，得. ……………………………………………………………4分 不妨设，， ‎ 由题意可得，，‎ ‎∴,‎ ‎∴曲线的方程为：()．………………………………6分 ‎（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.‎ 解得………………………7分 ‎∴．………………………8分 同理，…9分 ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴，………………………………10分 又∵，‎ ‎∴.………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.‎ 解得………………………………………………7分 ‎∴．………………………………………………8分 同理，……………………………9分 ‎∴‎ ‎……………………………10分 ‎………………………………………………………11分 即．………………………………………………………12分 ‎（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解: （Ⅰ）时，，……………………………1分 ‎∴在上为增函数；……………………………………………………… 2分 当时，，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上为减函数. ………………………………………………………………3分 ‎∴．‎ ‎∴当时，函数在定义域内无零点；‎ 当时，函数在定义域内有一个零点；‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎∴函数在上必有一个零点．又由，‎ 故函数在上也必有一个零点．‎ ‎∴当时，函数在定义域内有两个零点．………………………………………6分 ‎（Ⅱ）时，∵，，故，‎ ‎∴，……7分 设，则，‎ 在上单调递增，∴，‎ ‎∴，……………………………………………………………9分 ‎∴，又，‎ 故，即，…………………………………10分 ‎∴.‎ ‎∴当时，当时，，‎ 又时，，………………………………………11分 所以当时，也成立．‎ 综上，当时，.………………………………………12分 ‎（22）选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（Ⅰ）由，得，又，，‎ 得曲线的普通方程为，…………………………… 2分 所以曲线是以为圆心，2为半径的圆.‎ 由直线的参数方程为（为参数），‎ 得直线的直角坐标方程为． …………………………4分 由圆心到直线的距离，‎ 故直线与曲线相交. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线为经过点倾斜角为的直线，‎ 由代入，整理得 ‎，………………………………………………………6分 ‎，‎ 设对应的参数分别为，则，， ‎ 所以异号， …………………………………………………………7分 则，…………………………………8分 所以 又……………………………………………9分 所以直线的倾斜角或. …………………………………10分 ‎（23）选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解（Ⅰ）原不等式可化为或或.....３分 解得或或．. ....................................................4分 综上，原不等式的解集是.........................................................5分 ‎（Ⅱ）解： 使，等价于...................................6分 ‎ ........................................7分 ‎， ‎ 所以取得最小值.................................................................................8分 ‎， ‎ ‎ 得或 ‎ 的取值范围是..............................................................10分