2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十章　第3讲　二项式定理

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十章　第3讲　二项式定理

第3讲　二项式定理 一、知识梳理 ‎1．二项式定理 ‎(1)定理：‎ ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N+)．‎ ‎(2)通项：‎ 第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．‎ ‎(3)二项式系数：‎ 二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．‎ ‎2．二项式系数的性质 常用结论 ‎1．两个常用公式 ‎(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎2．二项展开式的三个重要特征 ‎(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.‎ ‎(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.‎ ‎(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.‎ ‎3．三个易错点 ‎(1)二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．‎ ‎(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．‎ ‎(3)二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．‎ 二、教材衍化 ‎1． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．‎ 解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.‎ 答案：40‎ ‎2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．‎ 解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.‎ 答案：20‎ ‎3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．‎ 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.‎ 答案：8‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)‎ ‎(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)‎ ‎(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；‎ ‎(2)配凑不当致误．‎ ‎1．在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是32，‎ 则展开式中各项系数的和为________．‎ 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．‎ 解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.‎ 答案：180‎ ‎3．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．‎ 解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.‎ 答案：－15‎ ‎　　　　　　求二项展开式的特定项或系数(师生共研)‎ ‎ (1)在的展开式中，x2的系数为________．‎ ‎(2)在二项式的展开式中，若常数项为－10，则a＝________．‎ ‎【解析】　(1)的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝Cx5，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C＝.‎ ‎(2)的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×＝Ca5－rx10，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.‎ ‎【答案】　(1)　(2)－2‎ 求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤 ‎(1)利用通项将Tk＋1项写出并化简．‎ ‎(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.‎ ‎(3)代回通项得所求．　 ‎ ‎1.的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－　　　　　　　 B． C．－ D． 解析：选D.Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C＝.‎ ‎2.的展开式中所有的有理项为________．‎ 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx，由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.‎ 答案：x2，－，x－2‎ ‎　　　　　　二项式系数与各项系数和问题(师生共研)‎ ‎ (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)‎ A．15 B．45‎ C．135 D．405‎ ‎(2)若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)‎ A．1 B．513‎ C．512 D．511‎ ‎【解析】　(1)由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135.故选C.‎ ‎(2)令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)D ‎“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．‎ 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．　 ‎ ‎1.的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)‎ A．6 B． C．4x D．或4x 解析：选A.令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()2＝6.‎ ‎2．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)‎ A．29 B．29－1‎ C．39 D．39－1‎ 解析：选D.(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D.‎ ‎　　　　　　多项式的展开式问题(多维探究)‎ 角度一　几个多项式的和的展开式问题 ‎ 在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11的展开式中，x2项的系数是(　　)‎ A．55 B．66‎ C．165 D．220‎ ‎【解析】　展开式中x2项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C，所以x2项的系数是C＝220.故选D.‎ ‎【答案】　D 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．　 ‎ 角度二　几个多项式的积的展开式问题 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)‎ A．12 B．16‎ C．20 D．24‎ ‎(2)(2020·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．‎ ‎【解析】　(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.‎ ‎(2)(ax＋1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2) ‎ 求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路 ‎(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．‎ ‎(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.‎ ‎(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．　 ‎ 角度三　三项展开式的定项问题 ‎ (1)(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－210 B．210‎ C．30 D．－30‎ ‎(2)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎【解析】　(1)(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，‎ 所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.‎ ‎(2)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法 ‎(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．‎ ‎(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，‎ 然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．　 ‎ ‎1．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N+)，若a0＋a1＋…＋an＝62，则logn25等于________．‎ 解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所以logn25＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是_________________________________．‎ ‎(用数字作答)‎ 解析：由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180.‎ 答案：－180‎ ‎3．在的展开式中，x5项的系数为________．‎ 解析：Tr＋1＝C(2＋)12－r·，要出现x5项，则r＝0，T1＝(2＋)12，‎ 所以x5项的系数为22C＝4C＝264.‎ 答案：264‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1.的展开式中的常数项为(　　)‎ A．－3 B．3 C．6 D．－6‎ 解析：选D.通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.‎ ‎2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．50 B．55‎ C．45 D．60‎ 解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.‎ ‎3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析：选C.二项式的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以＝2n＝64，n＝6.故选C.‎ ‎4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　)‎ A．－5 B．－15‎ C．－25 D．25‎ 解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.‎ ‎5．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)‎ A．2n－1 B．2n－1‎ C．2n＋1－1 D．2n 解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.‎ ‎6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．1‎ 解析：选A.(x－2)(x＋2)5＝(x2－4)·(x＋2)4，所以(x＋2)4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8.故选A.‎ ‎7．(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)‎ A．12 B．－12‎ C．8 D．－8‎ 解析：选B.展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B.‎ ‎8.展开式中的常数项为(　　)‎ A．1 B．21‎ C．31 D．51‎ 解析：选D.因为＝ ‎＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.‎ 所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D.‎ ‎9．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)‎ A．1 B．243‎ C．121 D．122‎ 解析：选B.令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①‎ 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②‎ ‎①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，‎ 即a4＋a2＋a0＝－121.‎ ‎①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，‎ 即a5＋a3＋a1＝122.‎ 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.‎ ‎10．(2020·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B． C．1 D．2‎ 解析：选D.由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝Cx10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.‎ ‎11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)‎ A．2n B． C．2n＋1 D． 解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，‎ 则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①‎ f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②‎ 由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，‎ 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.‎ ‎12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)‎ A．39 B．310‎ C．311 D．312‎ 解析：选D.对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.‎ ‎13．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．‎ 解析：二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝(－1)kCx4－y2＋，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.‎ 答案：6‎ ‎14.(x>0)的展开式中的常数项为________．‎ 解析：(x>0)可化为，因而Tr＋1＝C()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C·＝.‎ 答案： ‎15．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________．‎ 解析：(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.‎ 同理，b＝C.‎ 因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.‎ 所以13·＝7·.‎ 所以m＝6.‎ 答案：6‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)‎ A．64 B．32‎ C．63 D．31‎ 解析：选C.因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C.‎ ‎2．设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ 解析：选D.512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.‎ ‎3．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N+)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．‎ 解析：由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎4．设a＝2x dx，则二项式的展开式中的常数项为________．‎ 解析：a＝2x dx＝x2＝1，则二项式＝，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝(－1)rCx12－3r，‎ 令12－3r＝0，解得r＝4.‎ 所以常数项为(－1)4C＝15.‎ 答案：15‎ ‎5．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解：令x＝1，‎ 则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，‎ 则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)因为a0＝C＝1，‎ 所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|‎ ‎＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)‎ ‎＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ ‎6．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求展开式中的有理项；‎ ‎(3)求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，‎ 由已知得2×C＝C＋C，‎ 解得n＝8(n＝1舍去)．‎ ‎(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－ (r＝0，1，…，8)，‎ 要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.‎ ‎(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，‎ 则＝＝≥1，‎ ＝＝≥1，‎ 解得2≤r≤3.‎ 当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，‎ 因此，第3项和第4项的系数最大，‎ 故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.‎