数学理卷·2017届湖北省孝感市高三上学期第一次统一考试（2016

数学理卷·2017届湖北省孝感市高三上学期第一次统一考试（2016

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若复数满足，则在复平面内表示复数的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若，则（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎4. 已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 某程序框图如图所示，若输入输出的分别为3和1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本数据的中位数是（ ）‎ A．6 B．7 C.8 D．9‎ ‎8. 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 记不等式组表示的平面区域为，过区域中任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知两向量与满足，且，则与的夹角为 ．‎ ‎14. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”‎ 在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ．‎ ‎15. 在锐角中，已知，其面积，则的外接圆面积为 ．‎ ‎16. 设为数列的前项和，且满足，则 ； ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列，求的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：‎ ‎（Ⅰ）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；‎ ‎（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，‎ ‎，平面底面，为的中点，为正三角形，是棱上的一点(异于端点).‎ ‎（Ⅰ）若为中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使二面角的大小为30°.若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎20. （本小题满分12分）椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过作轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为3,抛物线以椭圆的右焦点为焦点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数单调区间；‎ ‎（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为：‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解方程；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式解集为空集，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBADA 6-10:ACCBB 11、12：DB 二、填空题 ‎13. 120° 14.59:26 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则 由已知有，即 ‎∴故或（舍） ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时，‎ ‎∴当时，‎ 当时，‎ ‎18. （Ⅰ）设表示所取得人中有个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件 ‎，‎ 则 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，由已知得 ‎∴‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎19.(Ⅰ)证明：如图，连接交与点，连接 由题意知且，故四边形为平行四边形 ‎∴为中点 ‎∴在中，又由为中点有：‎ 又面，面 ‎∴平面 ‎（Ⅱ）连接，则由题意易知平面 故以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 设，则 ‎∴‎ 记平面的法向量，平面的法向量，‎ 则由有 令可得 又由有，即 故存在点满足，且为棱上靠近端点的四等分点 ‎（其它方法酌情给分）‎ ‎20.（Ⅰ）设，由有 ‎∴椭圆的方称为：‎ 令，代入的方程有：‎ ‎∴‎ ‎∴，故，即 ‎∴抛物线的方称为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则 直线的方称为，代入抛物线的方程有：‎ 当时，‎ ‎∴直线的方程为：，即 ‎∴此时直线过定点 当时，直线的方称为：，此时仍过点 即证直线过定点 ‎21. 由有 因为在处取得极值，故 ‎∴ 经检验：当时，符合题意，故 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎∵的图像关于直线对称，故函数为偶函数 又 ‎∴，解得 ‎∴‎ ‎∴ 令有或 令有或 ∴函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减 ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知，对任意的，都有恒成立可转化为 在上恒成立 易知∴在上恒成立 令，∴ 令，∴ ∴在上递减，上递增 ∴‎ ‎∴，即在上递增 ‎∴‎ ‎∴ 22.由有 ‎ 即 ∵代入上式有圆的普通方程为：‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，为参数 ∴‎ ‎∴的取值范围为 ‎ (其它方法酌情给分) 23. （Ⅰ）由 ∴原方程等价于或或 解得：或或 即方程的解为 （Ⅱ）∵关于的不等式解集为空集 ∴‎ 又∵‎ ‎∴‎