陕西省西安市阎良区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

陕西省西安市阎良区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

阎良区2018~2019学年度第一学期期末教学检测 高二数学(理科)试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定可得出命题“，”的否定.‎ ‎【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴2p=1，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选C 考点：本题考查了抛物线焦点坐标的求法 点评：熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键，属基础题 ‎3.命题“若，则”逆否命题为（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由逆否命题与原命题之间的关系可得出命题“若，则”的逆否命题.‎ ‎【详解】由题意可知，命题“若，则”逆否命题为“若，则”，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查逆否命题的改写，熟悉原命题与逆否命题之间的关系是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎4.若＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是(　　)‎ A. (0，－3,1) B. (2,0,1)‎ C. (－2，－3,1) D. (－2,3，－1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两向量共线的条件即可找出平面的法向量．‎ 详解】∵（﹣2，3，﹣1）=﹣（2，﹣3，1），‎ ‎∴向量（﹣2，3，﹣1）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了共线向量与共面向量，正确理解平面的法向量是解题的关键．‎ ‎5.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则该椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出的值，即可求出该椭圆的长轴长.‎ ‎【详解】椭圆的半焦距为，，因此，该椭圆的长轴长为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，解题时要结合、、之间的关系来计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量的加法和减法法则可将用、、表示.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于 A. 2 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得,负值舍去，所以选D.‎ ‎8.是命题“，”为真命题的　　‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．‎ ‎【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，‎ 而，有，所以，‎ 由，可得成立，即，成立；‎ 反之，，成立，可得，不能推出．‎ 是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎9.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线为，一条渐近线与直线垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出，从而可得解．‎ ‎【详解】设双曲线为，它的一条渐近线方程为 ‎ 直线的斜率为，‎ ‎ 直线与垂直 ‎，即 ‎ ‎ ‎ 故选B ‎【点睛】本题目考查了互相垂直的直线的斜率关系，双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10.命题“是偶数，则都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 由题意知，命题“是偶数，则都是偶数”是假命题，所以原命题的逆否命题也为假命题；‎ ‎ 又命题“是偶数，则都是偶数”的逆命题为“若都是偶数，则是偶数”是真命题，所以原命题的否命题也为真命题；‎ ‎ 所以在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为两个，故选C.‎ ‎11.已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.‎ 详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，‎ 据此可得：，，‎ 设平面的法向量为，则：，‎ 据此可得平面的一个法向量为，‎ 而，据此有：，‎ 则点到平面的距离为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知点是椭圆的右焦点，过作垂直于长轴的垂线交椭圆于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的焦距为，计算出，可得出，可得出关于、所满足的等式，即可求出该椭圆离心率的值.‎ ‎【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则，点的坐标为，‎ 将代入椭圆方程得，，，，‎ 由于以为直径的圆过坐标原点，‎ 则，可得，即，即，‎ 等式两边同时除以得，，解得.‎ 因此，该椭圆的离心率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.椭圆的两焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，‎ 则△ABF2周长为_____________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程,求出a的值,再由椭圆的定义可得结果.‎ ‎【详解】因为椭圆, ,由椭圆的定义可得， 的周长是, 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用椭圆的定义是解题的关键.‎ ‎14.已知向量，，若与共线，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得出，即可计算出的值.‎ ‎【详解】向量，，，，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量共线求参数的值，解题时要结合题意列等式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知点是点在平面上的射影，则等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出的值.‎ ‎【详解】点在平面上的射影点的坐标为，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了射影点坐标的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义可知，点到该抛物线准线的距离等于，然后利用点、、三点共线可求出点到该抛物线准线的距离与距离之和的最小值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点的坐标为，作图如下：‎ 抛物线的准线方程为，设点到该抛物线准线的距离为，‎ 由抛物线的定义可知，，‎ ‎（当且仅当、、三点共线时，且在、中间时取等号），‎ 点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为，‎ ‎、，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线上的点到准线与该点到抛物线外一点距离之和的最小值的求解，一般利用抛物线的定义转化，结合三点共线取最小值来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共η分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；‎ ‎（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．‎ ‎【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出椭圆的标准方程，根据‎2a，‎2c所表示的几何意义求得a，c的值，再根据椭圆 ，求得b2的值，进而可得到椭圆的标准方程；‎ 先求得双曲线焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，结合双曲线，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程．‎ ‎【详解】设椭圆标准方程为，则 焦距为4，长轴长为6，‎ ‎，，，椭圆标准方程为；‎ 双曲线双曲线的焦点为，‎ 设双曲线的方程为，‎ 可得，‎ 将点代入双曲线方程可得，，‎ 解得，，‎ 即有所求双曲线的方程为：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.‎ ‎18.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程和准线方程；‎ ‎（2）若直线为抛物线的切线，证明：圆心到直线的距离恒大于．‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出抛物线的焦点坐标为，并求出圆的圆心，可得出，求出的值，即可得出抛物线的标准方程和准线方程；‎ ‎（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出，然后利用点到直线的距离公式可证明出圆心到直线的距离恒大于.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 圆的圆心为，可得，即，‎ 可得抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（2）联立，可得，‎ 由题意可得，即.‎ 圆心到直线的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的计算，同时也考查了直线与抛物线相切以及点到直线距离的计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知命题；命题函数在区间上有零点．‎ ‎（1）当时，若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入命题，求出命题为真时对应的实数的范围，并求出当命题为真时对应的参数的取值范围，将两个范围取交集可得出答案；‎ ‎（2）由命题是命题的充分不必要条件，得出命题中实数的取值范围是命题中实数的取值范围的真子集，由此可得出关于实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，命题，则或．‎ 函数在区间上单调递增，‎ 且函数在区间上有零点，则，‎ 命题，‎ 若为真命题，，.‎ 实数的取值范围是；‎ ‎（2），，‎ 命题；命题，命题是命题的充分不必要条件，‎ Ü，，得.‎ 当时，则有，不合乎题意；‎ 当时，则有Ü，合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，考查了利用充分不必要条件求参数，同时也涉及了函数的零点问题，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知平面是边长为的正方形，平面是直角梯形，平面，为与的交点，且，．请用空间向量知识解答下列问题：‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面夹角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明出，，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）可得出平面的一个法向量为，求出与夹角的余弦值，即可得出直线与平面夹角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则、、、、、、，‎ 则，，.‎ ‎，，，，‎ ‎，平面；‎ ‎（2），平面的一个法向量，‎ 则，‎ 设直线与平面的夹角为，则，‎ 直线与平面夹角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法证明线面垂直，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知定点，若直线与椭圆相交于不同的两点、，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用原点到直线的距离为求出的值，再结合离心率的值求出的值，即可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合，可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）坐标原点到直线的距离为，所以，，‎ 椭圆的离心率为，解得.‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，‎ 消去并整理得，‎ ‎，解得或.‎ 由韦达定理得，.‎ ‎，同理，‎ ‎，‎ 整理得，解得，满足.‎ 因此，实数的值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求参数值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别是线段、的中点，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设点是线段的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）取的中点为，连接、，如图：‎ 四边形为正方形，、、分别是线段、、的中点，‎ 且，且，，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）平面，四边形是正方形，、、两两垂直，‎ 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，则，，则平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，则，，则平面的一个法向量为.‎ ‎，‎ 由图形可知，二面角为锐角，其余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎