甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题

武威六中2020届高三第六次诊断考试 数 学（理）‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则　　‎ ‎ A． B．‎1 ‎ C． D．5‎ ‎3．时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况得到如下统计图，根据该图，下列说法错误的是（ ）‎ A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多 B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量 D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量 ‎4．已知向量，，，则实数的值为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．-1‎ ‎5．‎ ‎“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，为的一个靠近点的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）‎ ‎ Ａ． B． C． D．‎ ‎7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )‎ ‎ A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③‎ ‎9．设双曲线的左、右焦点分别为、，与圆相切的直线交双曲线于点（在第一象限），且，则的离心率为（ ）．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，且为奇函数，则（ ）‎ A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．在上单调递增 ‎11．已知三棱锥中，侧面底面，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知M是函数的所有零点之和，则M的值为（ ）‎ A．3 B．‎6 ‎C．9 D．12‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．曲线在处的切线斜率为_________．‎ ‎14. 已知抛物线过点，则抛物线的准线方程为______. ‎ ‎15．已知下列命题：‎ ‎ ①命题“”的否定是“”；‎ ‎ ②已知为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；‎ ‎ ③在中，“”是“”的既不充分也不必要条件；‎ ‎ ④“若，则且”的逆否命题为真命题 ‎ 其中，所有真命题的序号是__________．‎ ‎16．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.（第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，角的平分线交于点，求的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面 ‎（Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值 ‎19．（本小题满分12分）‎ 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元/件）及相应月销量（单位：万件），并对近5个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如下表数据：‎ 月销售单价（元/件）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 月销售量（万件）‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）建立关于的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？‎ 参考公式：回归直线方程，其中，．‎ 参考数据：，．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的离心率，且经过点 ‎ （Ⅰ）求椭圆C的方程.‎ ‎（Ⅱ）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数f(x)在x＝1处取得极值，x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.‎ 武威六中2020届高三第六次诊断考试 理科数学答案 一、选择题 ‎ ‎1--5 DCDCD 6---10 DDCBC 11---12 BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. ② 16.243 3402‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由及正弦定理知， 又，‎ 由余弦定理得.，.---------6分 ‎（2）由（1）知， 又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，，解得， 故.---------12分 ‎18.【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为为的中点，则，且， 又，且，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面 ……5分 ‎（Ⅱ）由题意可知，所以或其补角为异面直线与所成角，又，为钝角三角形，所以，又平面平面，平面平面，，所以平面，以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，向量，，‎ 设平面的法向量为，由得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，则，故二面角的正弦值为 …………12分 ‎19.解（Ⅰ）因为，．‎ 所以，所以，‎ 所以关于的回归直线方程为：．----------6分 ‎（Ⅱ）当时，，则，‎ 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．…… 8分 ‎（Ⅲ）设销售利润为，则 ‎，所以时，取最大值，‎ 所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润．…………12分 ‎20.解：(1)由题意可得＝，＋＝1，‎ 又a2－b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.‎ 设直线l的方程为x＋my－＝0，与椭圆C的方程联立得整理得(4＋m2)y2－2my－1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)(依题意t≠x1，t≠x2).‎ 由根与系数的关系可得，y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，‎ 所以＋＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.‎ 又x1＋my1－＝0，x2＋my2－＝0，‎ 所以y1(－my2－t)＋y2(－my1－t)＝0，整理得，(－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0，‎ 从而可得，(－t)·－‎2m·＝0，‎ 即‎2m(4－t)＝0，‎ 所以当t＝，即Q时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称.特别地，当直线l为x轴时，Q也符合题意.‎ 综上所述，在x轴上存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称.‎ ‎21.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝.‎ 当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.‎ 当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，‎ ‎∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x＝处有极小值.‎ 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；‎ 当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点.‎ ‎(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，‎ ‎∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.‎ 因此f(x)≥bx－21＋－≥b，‎ 令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，‎ 令g′(x)＝0，得x＝e2，‎ 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.‎ 故实数b的最大值是1－.‎ ‎22.解（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，根据，转换为极坐标方程为，即 所以曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（2）直线的参数方程为转换为直线的标准参数式为为参数）代入圆的直角坐标方程为，，设方程两根为，所以，，所以．‎ ‎23．解：（1），‎ 当时，得；当时，得；当时，得，综上可得不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意，‎ 令.‎ ‎∴，解得或，即实数的取值范围是.‎