【数学】2020届一轮复习人教版（理）第1章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第1章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[考纲解读]　1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别．(重点)‎ ‎2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围．(重点、难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分 不必要条件 p⇒q且qp A是B的真子集 p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp A，B互不包含 ‎1．概念辨析 ‎(1)“x－3>‎0”‎是命题．(　　)‎ ‎(2)一个命题非真即假．(　　)‎ ‎(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)‎ A．若xy，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2‎ 答案　B 解析　“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y‎2”‎．‎ ‎(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的(　　)‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，‎ ‎∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．‎ ‎(3)“若a≤b，则ac2≤bc‎2”‎，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　原命题是真命题．‎ 逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题．‎ 否命题：“若a>b，则ac2>bc‎2”‎是假命题．‎ 逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题．‎ 所以四个命题中真命题有2个．‎ ‎(4)“sinα>‎0”‎是“α是第一象限角”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　sin＝1>0，但不是第一象限角，‎ 所以sinα>0 α是第一象限角，‎ α是第一象限角⇒sinα>0，‎ 所以“sinα>‎0”‎是“α是第一象限角”的必要不充分条件．‎ 题型 　四种命题及其关系 ‎1．命题“已知a>1，若x>0，则ax>‎1”‎的否命题为(　　)‎ A．已知00，则ax>1‎ B．已知a>1，若x≤0，则ax>1‎ C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1‎ D．已知01，若x≤0，则ax≤‎1”‎．‎ ‎2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ 答案　C 解析　因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．‎ ‎3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)‎ A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 答案　A 解析　原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<‎2”‎，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥‎2”‎是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.‎ ‎1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项 ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．‎ ‎(2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>‎1”‎是大前提．‎ ‎(3)注意一些常见词语及其否定表示：‎ 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于‎1”‎的否定是“a，b都小于‎1”‎．‎ ‎2．判断命题真假的两种方法 ‎(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．‎ ‎(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)‎ ‎①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题 γ是命题α的逆否命题．‎ A．①③ B．② C．②③ D．①②③‎ 答案　A 解析　由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．‎ ‎2．原命题为“若1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由5x－6>x2得x2－5x＋6<0，解得21或x<－3}，则AB，‎ 所以q是p的充分不必要条件，‎ 所以綈p是綈q的充分不必要条件．‎ 判断充分、必要条件的三种方法 方法 解读 适合题型 定义法 第一步，分清条件和结论：分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论 定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法．如举例说明1‎ 等价法 利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系 适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．如举例说明3‎ 集合法 记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件 适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．如举例说明2‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是(　　)‎ A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α 答案　C 解析　对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.‎ ‎2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1.‎ 因为綈q⇒綈p，但綈p 綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件．‎ ‎3．(2017·天津高考)设θ∈R，则“＜”是“sinθ＜”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵＜，∴－＜θ－＜，‎ 即0＜θ＜.‎ 显然0＜θ＜时，sinθ＜成立．‎ 但sinθ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．‎ 故0＜θ＜是sinθ＜的充分而不必要条件．故选A.‎ 题型 　知充分、必要条件求参数的取值范围 ‎1．已知集合A＝，B＝{x|(x－b)2，∴－a<－(1－a)，‎ 故解得－a，‎ ‎∴AB，∴解得a>3.‎ 条件探究2　举例说明2中“≤－‎1”‎改为“≤－‎1”‎，“綈p”改为“p”，其余不变，该如何求解？‎ 解　由题意得，p是綈q的充分不必要条件．‎ 由≤－1得≤0，解得6≤x<10.‎ ‎∴p对应集合C＝{x|6≤x<10}．‎ 又∵q对应集合B＝{x|－a，∴C∁RB，‎ ‎∴或解得0，q：x>a2－‎2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)‎ C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]‎ 答案　C 解析　由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p q．所以a2－‎2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.‎ ‎2．(2018·河北保定模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－‎ m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．‎ 答案　[0,3]‎ 解析　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，‎ 所以P＝{x|－2≤x≤10}．‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则解得0≤m≤3.‎ 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．‎ 思想方法　等价转化思想在充要条件中的应用 ‎[典例]　已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．‎ 答案　[9，＋∞)‎ 解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即p是q的充分不必要条件，‎ 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，‎ 得1－m≤x≤1＋m(m>0)．‎ ‎∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．‎ 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．‎ 又由≤2，得－2≤x≤10，‎ ‎∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．‎ 设N＝{x|－2≤x≤10}．‎ 由p是q的充分不必要条件知，NM，‎ ‎∴或解得m≥9.‎ ‎∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．‎ 思想方法　等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.‎