宁夏银川市第二中学2020届高三下学期统练（七）数学（文）试题

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银川市第二中学2020届高三下学期统练（七）数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则集合中的元素个数为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式化简集合，即可得答案.‎ ‎【详解】∵.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的描述法和列举法表示，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设复数，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算化简复数，即可得答案.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴复数的虚部为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数虚部的概念，考查运算求解能力和对概念的理解，属于基础题.‎ ‎3.为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了地岁的名女性，其中地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在岁的女性被抽取了40人，则年龄在岁的女性被抽取的人数为（ ）‎ A. 50 B. ‎10 ‎C. 25 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据比例关系求出的值，再利用比例关系，即可得答案.‎ ‎【详解】∵年龄在岁的女性被抽取了40人，‎ ‎∴，‎ ‎∵年龄在岁的女性被抽取的人数为占，‎ ‎∴人数为（人）.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查统计中对图表数据的处理，考查基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的焦距为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对双曲线的焦点位置进行讨论，利用焦距为8，得到关于的方程，在双曲线方程中右边的1为0，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）双曲线的焦点在轴上时，‎ ‎∴∴，‎ ‎∴双曲线方程为，其渐近线方程为：；‎ ‎（2）双曲线的焦点在轴上时，‎ ‎∴∴，‎ ‎∴双曲线方程为，其渐近线方程为：；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程、焦距的概念、渐近线的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意对焦点的位置的讨论.‎ ‎5.运行如图所示的程序框图，若输出的值为35，则判断框中可以填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图一步一步执行，即可得到答案.‎ ‎【详解】，进入判断框，执行循环体；‎ ‎，进入判断框，执行循环体；‎ ‎，进入判断框，执行循环体；‎ ‎，进入判断框，执行循环体；‎ ‎，进入判断框，终止循环，输出的值；‎ ‎∴判断框中可以填.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查补全程序框图中的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.欧拉三角形定义如下：的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，在中，的垂心为的中点分别为即为的欧拉三角形，则向中随机投掷一点，该点落在内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算三角形阴影部分的面积，再利用几何概型计算概率，即可得答案.‎ ‎【详解】如图所示，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，‎ ‎∵，‎ ‎∴的方程为，‎ ‎∵，∴，∴的方程为，‎ 当时，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用坐标法进行求解.‎ ‎7.如图，网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根据几何体的三视图可以还原几何体的直观图为：正方体削去一个三棱柱和一个的圆柱，在计算几何体的表面积，即可得答案.‎ ‎【详解】几何体的上下底面面积为：，‎ 几何体的上下底面面积为：，‎ ‎∴该几何体的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、并进行表面积的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意割补思想的应用.‎ ‎8.某抽奖箱中放有2个红球，2个蓝球，1个黑球，则从该抽奖箱中随机取3个球，有3种颜色的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算该抽奖箱中随机取3个球的等可能结果，同时计算有3种颜色的等可能结果，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.‎ ‎【详解】∵从该抽奖箱中随机取3个球共有种等可能结果，‎ 有3种颜色共有种等可能结果，‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，考查基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.已知抛物线的焦点，过点作斜率为1的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则（ ）‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用抛物线的弦长公式得，再利用，求出点，进而利用点差法可得关于的方程，解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意得直线的倾斜角为，‎ ‎∴，‎ 设直线与直线的交点为，则为等腰直角三角形，‎ ‎∵，∴，‎ 设，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、点差法的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 函数的图像关于对称 B. 函数的图像关于对称 C. 函数的图像关于对称 D. 函数的图像关于对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，易得函数过原点，从而根据选项进行一一验证，即可得答案.‎ ‎【详解】∵函数过点，‎ 对A，若函数的图像关于对称，则，显然不成立，故A错误；‎ 对B，若函数的图像关于对称，则，显然不成立，故B错误；‎ 对D，若函数的图像关于对称，则，显然不成立，故D错误；‎ 利用排除法可得C正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用排除法进行解题.‎ ‎11.已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到，在于图像的平移得到，将带入正弦函数的递减区间，即可得答案.‎ ‎【详解】由图像得，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵图像过点，∴，即，解得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎12.已知函数仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化为方程在仅有一个变号根，进一步将问题转化为方程在不存在变号根，由得在单调递增，利用导数即可得答案.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∵在仅有一个变号根，显然为一个变号根，‎ ‎∴恒大于等于0或恒小于等于0，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，在恒成立，‎ ‎∴在单调递增时，且，‎ ‎∴在恒成立，‎ 故满足题意.‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ 且，‎ ‎∴在恒大于等于0或恒小于等于0均不成立，‎ ‎∴不合题意；‎ 综上所述：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离的应用.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量的坐标运算，求向量的数量积，即可得答案.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.设实数满足，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案.‎ ‎【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，‎ 当直线过点B和过点C时，分别取到最小值和最大值，‎ 此时，，∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.‎ ‎15.已知三棱锥外接球的体积为，在中，，则三棱锥体积的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的直观图，当三棱锥体积的最大时，面，设为外接球的球心，且半径为，利用球的体积求得的值，再利用勾股定理求得三棱锥的高，即可得答案.‎ ‎【详解】由题意得中，，‎ ‎∴，取的中点，连结，‎ 当三棱锥体积的最大时，面，设为外接球的球心，且半径为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、三棱锥体积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.‎ ‎16.若面积为2的中，，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要据三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，将表示成关于的三角函数，再利用导数求最小值，即可得答案.‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∵的面积为，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 显然的最小值时，只需考虑时，‎ 令，则，‎ 当得，此时，‎ ‎∵在存在唯一的极值点，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、导数在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求函数的最值.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知首项为1的数列满足：当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用累加法可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）利用等比数列前项和公式，可求得.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，，‎ ‎，‎ ‎∴，整理得：，‎ 当时，也符合上式，∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、等比数列前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎18.人们随着生活水平的提高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健身方面投入越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各50名，将其花费统计情况如下表所示：‎ 分组（花费）‎ 频数 ‎6‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ 男性 女性 合计 健身花费不超过2400元 ‎23‎ 健身花费超过2400元 ‎20‎ 合计 ‎（1）完善二联表中的数据；‎ ‎（2）根据表中的数据情况，判断是否有99%的把握认为健身的花费超过2400元与性别有关；‎ ‎（3）求这100名被调查者一年健身的平均花费（同一组数据用该区间的中点值代替）.‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）没有99%的把握;（3）元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频数表提取数据，并填入列联表中；‎ ‎（2）将数据代入卡方系数计算公式中，并与6.635进行比较，即可得答案；‎ ‎（3）根据题意直接计算样本数据的平均值，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 男性 女性 合计 健身花费不超过2400元 ‎23‎ ‎30‎ ‎53‎ 健身花费超过2400元 ‎27‎ ‎20‎ ‎47‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴没有99%把握认为健身的花费超过2400元与性别有关.‎ ‎（3）平均费用为，则 ‎.‎ ‎∴这100名被调查者一年健身的平均花费元.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、平均数的计算，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.‎ ‎19.如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，点在线段上，且平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点是线段上靠近的三等分点，点在线段上，且平面，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE，即可证得结论；‎ ‎（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，利用面面平行证得线面平行，再利用勾股定理，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）∵平面SAB平面ABCD，面SAB面ABCDAB，BCAB，BC面ABCD，‎ ‎∴BC面SAB，又AS面SAB，∴ASBC.‎ ‎∵BE面SAC，AS面SAC，‎ ‎∴ASBE，又BCBEB，‎ ‎∴AS面SBC.‎ ‎（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，‎ ‎∵ONSB，ON面SBC，SB面SBC，‎ ‎∴ON面SBC，同理OM面SBC，‎ ‎∵OM，ON面OMN，OMONO，‎ ‎∴面OMN面SBC，‎ ‎∵MN面OMN，∴MN面SBC.‎ 由（1）得：OMON，‎ ‎∴在直角三角形OMN中，ON1，OM4，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面平行性质定理、线面平行判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎20.已知点在圆上运动，轴，垂足为，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，记的面积为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相关点代入求轨迹方程；‎ ‎（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程中得，得，再利用一元二次函数的性质求最大值.‎ ‎【详解】（1）设，，‎ ‎∵，∴为的中点，‎ ‎∴∴，即.‎ ‎∴点的轨迹的方程.‎ ‎（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将直线方程代入椭圆方程中得，‎ ‎∴.‎ 设，‎ ‎∴‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴时，，‎ ‎∴的最大值.‎ ‎【点睛】本题考查相关点带的话求椭圆的轨迹方程、直线与椭圆位置关系中三角形的面积最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意一元二次函数的性质求最值.‎ ‎21.已知函数，其中. ‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）记函数的极小值为，若成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在单调递增，在单调递减;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导得到，在解不等式即可得到单调区间；‎ ‎（2）利用导数求出函数的极小值为，从而得到恒成立，再利用导数研究的单调性，从而求得答案.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在区间单调递增，在区间单调递减.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴或，，‎ ‎∴在单调递减，单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，‎ 在恒成立，‎ 单调递减，且，‎ ‎∴时，成立，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）;;（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）消参即可得到直线的普通方程，再利用可得直线的极坐标方程；进一步可得曲线的普通方程；‎ ‎（2）利用参数方程中参数的几何意义，可求得弦长.‎ ‎【详解】（1）∵；‎ ‎∵，‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ ‎∵‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程化简为标准式为（t为参数），代入x2+4y2＝4，‎ 得到：3t2﹣4t﹣4＝0，‎ 所以，，‎ 则：|PQ|.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法进行求解，即可得答案；‎ ‎（2）由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．.‎ ‎【详解】（1）若，不等式①‎ 当时，不等式①等价于，∴；‎ 当时，不等式①等价于，∴；‎ 当时，不等式①等价于，∴；‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）关于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，‎ 设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，‎ 而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，当且仅当x＝1取得等号，‎ 则g（x）的最小值为|1﹣m|，‎ 由|1﹣m|≥2，‎ 解得m≥3或m≤﹣1．‎ ‎【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.‎