2019-2020学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期末考试数学试题

2019-2020学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期末考试数学试题

娄底一中2019年下期高一期末考试数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．设全集，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知空间中两点,则长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在、、、中，最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数，则的值等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．直线与圆相切，则（ ）‎ A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12‎ ‎6．函数是（ ）‎ A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 ‎7．已知空间两条直线，两个平面，给出下面四个命题：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ 其中正确的序号是（ ）.‎ A．①④ B．②③ C．① ② ④ D．① ③ ④‎ ‎8．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎9．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于　(　　)‎ A．1 B．5 C．-1 D．-5‎ ‎10．边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球表面积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数,若存在实数,,满足,其中,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）‎ A． B．π C．2 D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．若，则______写出最简结果 ‎14．已知直线与直线，且，则a=______．‎ ‎15．已知圆锥底面半径与球的半径都是lcm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_________.‎ ‎16．若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为 。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）解方程；‎ ‎（2）若不等式的解集为，函数的定义域为，求。.‎ ‎18．(本小题满分12分）‎ 如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上．‎ ‎（1）求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.‎ ‎20．(本小题满分12分）‎ 已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.‎ ‎21．(本小题满分12分）‎ 如图,点是以为直径的圆周上的一点，‎ ‎ , 平面，点 为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面 ；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎22．(本小题满分12分）‎ 已知函数为偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知函数，，若的最小值为0，‎ 求的值 .‎ 参考答案 ‎1．D ‎【详解】由题意，∴．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．‎ ‎2．C 由空间中的距离公式，可得，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．C ‎【详解】，，，，‎ 所以最大的数为：，故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有实数幂的运算性质，属于简单题目.‎ ‎4．B ‎【详解】‎ 因为,所以.故选:B ‎【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.‎ ‎5．D ‎【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.‎ 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.‎ ‎6．A ‎【解析】易知f(x)的的定义域为R，又，所以f(x)是奇函数；‎ 又，因为在R上都是单调递增函数，所以也是R上的单调递增函数，故选A。‎ 考点：函数的单调性和奇偶性；指数函数的单调性。‎ 点评：此题主要考查函数单调性的判断，属于基础题型。‎ ‎7． A ‎【详解】①：根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，，①正确；‎ ‎②：，②不正确；‎ ‎③：，③不正确；‎ ‎④：，④正确.故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要空间中直线与平面之间的位置关系，属于常考题.‎ ‎8．C ‎【解析】圆，圆,，所以内切。故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：‎ ‎，内含；，内切；，相交；，外切；，外离。‎ ‎9．D ‎【解析】∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，‎ ‎∴，解得。选D。‎ ‎10．B ‎【详解】如图所示：为三角形过中心且垂直平面的直线，‎ 为三角形过中心且垂直平面的直线，与相交于点.‎ 由球的性质知：四面体的外接球球心为点.‎ 因为，为的中心，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以.‎ 故外接球的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题.‎ ‎11．D 画出图像,如图 ‎ 且,‎ 由图像可知在二次函数图像上且 由图可知,,即 ‎ ‎ ‎ 的取值范围是:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,‎ 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.‎ ‎12．D ‎【详解】解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，‎ 则F为B1C1的中点．分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，‎ 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE，‎ AO，AN⊂平面ANO，∴A1F∥平面ANO．‎ 同理可得DE∥平面ANO，‎ ‎∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，‎ ‎∴平面A1DE∥平面ANO，‎ 所以NO∥平面A1DE，∴直线NO⊂平 面A1DE，∴M的轨迹被正方形BCC1B1‎ 截得的线段是线段NO．‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线 段长NO．故选D.‎ ‎【点睛】本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎13．1‎ ‎，．故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14．‎ ‎【详解】因为，所以，所以． ‎ ‎【点睛】本题主要考查了两直线垂直的充要条件，属于基础题．‎ ‎15．π ‎【详解】由题意可知球的体积为：13cm3，圆锥的体积为：π×12×hhcm3，‎ 因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以 h，所以h＝4cm，‎ 圆锥的母线：lcm．故圆锥的侧面积S＝πrlπcm2，故答案为π ‎【点睛】本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．‎ ‎16．.‎ 由题意，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，‎ 因为，所以，设 ，因为过点作半圆的切线，‎ 因为，所以，‎ 整理，得，‎ 以点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，‎ 所以当点在直线上时，的面积最大，‎ 最大值为.故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形面积的最大值的求法，以及圆的方程的求解及应用，其中解答中认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，求得动点的轨迹是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎【详解】（1）因为，由，则，解 得；-----5分 ‎（2）由，得，解得，则.‎ 由，得，则.所以------10分 ‎【点睛】本题考查对数方程的求解，同时也考查了对数不等式、函数定义域以及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，且，‎ ‎∴CE：y－2＝x－3，即x－y－1＝0． ------6分 ‎（Ⅱ）由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，‎ ‎∴---------12分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，‎ E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，‎ 且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD----------6分 ‎（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.‎ 在直角PAM中，求得PM=，∴PM=-------12分 ‎20．解：(1) (2) ‎ ‎（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，‎ 则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，所以，解得，所以圆的方程为.----------6分 ‎（2）由题意：四边形周长，其中， ‎ 即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，‎ 所以周长，故四边形周长的最小值为 ‎.----------12分 ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.‎ ‎19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ 解：（Ⅰ） 是圆的直径， , ‎ ‎　 又中点， ‎ 所以 所以 面面 -------6分 ‎（Ⅱ）设圆心为O,则由 ‎ 得且 ‎ 取的中点，‎ 则,所以 ‎ 连就是直线所成角， ‎ 所以 ，所成角为-------12分 ‎22．（1）k＝﹣ ；（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为y＝f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）＝f（x），‎ 即对于∀x∈R恒成立．‎ 即2kx＝恒成立 而x不恒为零，所以k＝﹣ ；-------6分 ‎（2）函数= ‎ 令3x＝t ，为二次函数，对称轴为 ‎ 若，恒成立不合题意 故，函数开口向下。‎ 当即时，函数最小值为符合题意 当即时，函数最小值为 不符合题意综上-------12分 ‎【点睛】‎ 本题重点考查函数奇偶性的应用，考查二次函数的值域，解题的关键是正确运用分类讨论，合理将问题进行等价转化，是中档题