数学理卷·2019届辽宁省凌源市高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届辽宁省凌源市高二上学期期末考试（2018-01）

凌源市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.函数的最大值是（ ）‎ A．-1 B．1 C．6 D．7‎ ‎4.已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（ ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，如果输出的值为3，则输入的值可以是（ ）‎ A．20 B．21 C.22 D．23‎ ‎8.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 ‎ C.向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9.若，，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B．1 C.2 D．3‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（ ）‎ A．6 B．8 C.10 D．12‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，且，则的最小值是 ．‎ ‎14.已知向量，，且，则的值为 ．‎ ‎15.已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是 ．‎ ‎16.椭圆上的任意一点(短轴端点除外)与短轴上、下两个端点的连线交轴于点和，则的最小值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数在区间上有1个零点；函数图象与轴交于不同的两点.若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.在数列中，，，.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎19.已知顶点在单位圆上的中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.‎ ‎22.如下图，在三棱锥中，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设平面平面，，，求二面角的正弦值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC 二、填空题 ‎13.4 14.12 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：对于设.‎ 该二次函数图象开向上，对称轴为直线，‎ 所以，所以；‎ 对于函数与轴交于不同的两点，‎ 所以，即，‎ 解得或.‎ 因为“”是假命题，“”是真命题，所以一真一假.‎ ‎①当真假时，有，所以；‎ ‎②当假真时，有，所以或.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎18.证明：（1）由，知，又，‎ ‎∴则数列是以为首项，公比为的等比数列.‎ 解：（2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，①‎ 则，②‎ ‎①-②，得，‎ ‎∴.‎ ‎19.解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以，所以.‎ ‎（2）据（1）求解知，又，∴，‎ 又据题设知，得.‎ 因为由余弦定理，得，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎20.解：（1）第1组人数，所以；‎ 第2组人数，所以；‎ 第3组人数，所以；‎ 第4组人数，所以；‎ 第5组人数，所以.‎ ‎（2）第2，3，4组回答正确的人的比为，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.‎ ‎（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是，，，‎ 其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是，，‎ 故所求概率为.‎ ‎21.解：（1）依题意，得，解得，.‎ 所以椭圆的方程是.‎ ‎（2）当变化时，为定值.‎ 证明如下：‎ 由得.‎ 设，，，，（*）‎ 因为直线，直线的斜率分别为，且，‎ 所以，得，‎ 将（*）代入解得，经检验知成立.‎ 故当变化时，为定值.‎ ‎22.证明：（1）设的中点为，分别连接.‎ 又因为，所以.‎ 因为为的中点，为的中点，所以.‎ 又因为，所以.‎ 又因为，平面，所以平面.‎ 又因为平面，所以，即.‎ 解：（2）由（1）求解知，.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ 所以两两相互垂直.‎ 因为，，，所以.‎ 因为为的中点，，，所以，.‎ 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.‎ 设平面的一个法向量为，则，.‎ 所以，取，解得.‎ 所以是平面的一个法向量.‎ 同理可求平面的一个法向量.‎ 设二面角的大小为，则.‎ 因为，所以，所以二面角的正弦值为.‎