2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第三次月考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第三次月考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 广东省蕉岭县蕉岭中学2018-2019学年高二下学期第三次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1． 已知集合，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出集合A中的不等式，和集合B取交集即可。‎ ‎【详解】‎ 由得，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合之间的运算（交集、并集、补集）。属于基础题。‎ ‎2．复数的共轭复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎=，所以共轭复数为，则虚部为-1，故选择C.‎ ‎3．已知命题对任意，总有；‎ 是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；‎ 所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.‎ 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.‎ ‎4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）‎ A．36种 B．48种 C．96种 D．192种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．‎ 考点：分步计数原理 点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．‎ ‎5．函数的导函数在区间上的图像大致是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，可排除 又在处取最大值；故排除B.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中分析函数的性质，及不同性质在图象上的表现是解答本题的关键．‎ ‎6．设等差数列的前项和为，若，则的值为( )‎ A．27 B．36 C．45 D．54‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得,故,故应选D.‎ 考点：等差数列的通项公式与前项和公式．‎ ‎7．已知点P(x，y)的坐标满足条件,那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为( )‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形(图略)可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1,0)到直线3x－4y－13＝0的距离等于＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2，选B.‎ ‎8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：由题意可得： ，三角形的面积：‎ ‎ ，当且仅当 时等号成立，‎ 综上可得，此三角形面积的最大值为 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．如图，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D的抛物线方程为，则图中阴影部分面积为，所以落在阴影部分的概率为 ，故选择D.‎ ‎10．已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三视图知识可得，题中的几何体是如图所示的长方体中的四棱锥，‎ 侧视图为直角三角形，则：,‎ 据此有：,长方体的高为，‎ 取上下底面的中心,该几何体的外接球在直线上，‎ 计算可得：,‎ 则为外接球的球心，半径为，‎ 该四棱锥的外接球的表面积为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎11． 倾斜角为的直线经过原点与双曲线的左、右两支于两点，则双曲线离心率的取值范围为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可知，一条渐近线的斜率的倾斜角大于，即，，选A.‎ ‎12．已知函数，若函数 在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 函数的零点为方程的根，而，则，令，则 ，则在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，即与 的图象在有两个交点，设 ，画出图象抛物线，当时，，当时， ，由于，所以 .选C.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设向量、满足:,,,则与的夹角是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得·=0，再利用平面向量的数量积运算化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 由得·=0，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎14．若的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项展开式的通项为,令解得．‎ 所以的系数为,解得．‎ 考点：二项式定理．‎ ‎15．抛物线C: 的焦点为,设过点的直线交抛物线与两点，且 ‎,则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 设点 、 的横坐标分别为 、，由焦半径公式得， 时， ， 的方程为 ，与联立可得， ，解得，所以 ，同理，时，，故答案为 .‎ ‎16．已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有.则_____．‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】‎ 令m=n+1,,得，说明f(x)为单调递增函数，设，则，显然，否则f(f(1))=f(1)=1，与f(f(1))=3矛盾。‎ 从而,而由f(f(1))=3, 即f(a)=3,又，即，所以，同时，，，，，54-27=81-54=27，又单调递增，，所以当,,,‎ ‎=2+9+55=66‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设锐角三角形的内角的对边分别为，．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查余弦定理，根据及已知条件易得，又B为锐角三角形内角，所以可以求出；（2）本问主要考查求三角函数值域问题，化成关于一个角的一种函数名的形式，即，根据角A的范围求函数的值域，由为锐角三角形且知， 故，于是可以求值域.‎ 试题解析：(1)由,根据余弦定理得.‎ 又为锐角三角形的内角，得.‎ ‎(2)由（1）知：，‎ 由为锐角三角形且知， 故.‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎ 故的取值范围为.‎ 考点：1.余弦定理；2.正弦型函数的值域.‎ ‎18． 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且对任意m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式； ‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得数列为等差数列。再由可计算出，即可得出的通项式。‎ ‎（2）由（1）得，从而把计算出来，即，所以，又因为，所以，得证。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令，得.即．‎ 所以数列是以3为公差的等差数列．‎ ‎∴ ‎ ‎(2)因为 .‎ 所以 ‎ 另一方面，由于 ‎ 则 .‎ 综上可知：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项式，数列的前的求法（裂项相消、错位相减、分组求和），属于中档题。‎ ‎19．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，‎ ‎，为等边三角形，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角大小的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 二面角大小的余弦值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角大小的余弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（1)如图取的中点，连接，依题，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以.因为是中点，‎ 所以，故，‎ 所以为等边三角形，所以，‎ 因为，所以 所以平行四边形为菱形，‎ 所以，所以，即，又已知，所以平面，‎ 平面，所以平面 平面.‎ ‎(2)由（1)知，平面，平面 平面，所以如图，以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，‎ 所以.设平面的法向量，则 ‎，令，则，所以.‎ 同理可得平面的法向量，所以，‎ 所以二面角大小的余弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20．继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：‎ 时间（分钟）‎ ‎ ‎ 次数 ‎8‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.‎ ‎（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.‎ ‎（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先求为最优选择的概率是，故ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），进而求得分布列和期望值；（2）根据题意得到每次花的平均时间为35.5，根据花的费用为10+35.5*0.1得到费用.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ ‎， ∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（或）．‎ ‎（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间 ‎（分钟）‎ 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元．‎ 一个月的平均用车费用约为542元．‎ ‎21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率，左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，再根据可计算出。（2）设直线方程为，代入椭圆方程得，所以，所以，根据基本不等式即可求出取得最值时的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆M的半焦距为，即，又离心率，即 ‎∴椭圆M的方程为 ‎ ‎（2）设直线l的方程为，，联立方程组 ‎，消去得，，∴‎ ‎，且异号 ‎∴‎ ‎∵，当且仅当，即时，等号成立 ‎∴的最大值为，此时l的方程为 ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了椭圆的标准方程，其中容易忽略的是这一关系。第二问考查了直线与椭圆，直线设为这样避免讨论斜率不存在的情况。其次把直线代入椭圆方程，再利用韦达定理（解析几何中常考）。‎ ‎22．已知（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）若在处的切线过点，求实数的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），，，切线方程为，把点代入①，解得；（2）由可得,令，，利用导数，画出的图像，根据的零点对进行分类讨论，由此求得.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 又∵，‎ ‎∴在处的切线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 把点代入①，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎（2）由可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ 令，，‎ ‎∵，且，，‎ ‎∴存在，使得，且当时，，当时，．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（1）当时，，‎ 此时，对任意②式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）当时，‎ ‎∵，‎ 由变形可得，‎ 令，下面研究的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎∴与同号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且对成立，‎ ‎∴函数在上为增函数，‎ 而，‎ ‎∴时，，∴，‎ ‎∴函数在上为减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎（3）当时，‎ ‎∵，‎ 由变形可得，．．．．．．．．．．③‎ 由（2）可知函数，‎ ‎∴，‎ 综合（1）（2）（3）可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数导数与不等式.‎ ‎【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.‎