2020届二轮复习等差数列及其前n项和教案（全国通用）
§6.2 等差数列及其前n项和
最新考纲 1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
概念方法微思考
1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？
提示 充要条件．
2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．
3．如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．
( √ )
题组二 教材改编
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31B．32C．33D．34
答案 B
解析 由已知可得
解得 ∴S8＝8a1＋d＝32.
3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
题组三 易错自纠
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.
0，a7＋a10<0，则当n＝时，{an}的前n项和最大．
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.
故当n＝8时，其前n项和最大．
6．一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过秒落到地面．
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1960，
即4.90t2＝1960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2．(2018·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于( )
A．17B．18C．19D．20
答案 B
解析 由等差数列的前n项和公式可知S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又由d＝＝＝1，所以由等差数列的通项公式可得a20＝a5＋15d＝3＋15×1＝18，故选B.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二 等差数列的判定与证明
例1在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思维升华等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
跟踪训练1数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.
(1)证明 ∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，＝>＝－.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－
＝.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2(2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于( )
A．9 B．17
C．72 D．81
答案 D
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×
eq f(18,2)＝81.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3(1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35B．42C．49D．63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2020＝.
答案 2020
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2019d＝－2018＋2019＝1，
∴S2020＝1×2020＝2020.
思维升华等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2(1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于( )
A．0B．1C．－1D．2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故选B.
(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A．6B．7C．8D．13
答案 B
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2B．－C.D．2
答案 B
解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于( )
A．38B．39C．41D．42
答案 D
解析 由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，
可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
3．(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，则S2020等于( )
A．2020 B．－2020
C．－4040 D．4040
答案 D
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2017＝×2017＝×2017＝2017a1009＝2017，
则a1009＝1，据此可得，
S2020＝×2020＝1010＝1010×4＝4040.
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A．65B．176C．183D．184
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
5．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是( )
A．①②B．①③④C．①③D．①②④
答案 C
解析 a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，错误．
所以正确的是①③，故选C.
6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为( )
A．14B．15C．16D．17
答案 C
解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．
∵<－1，
∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，
∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7．(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为．
答案 an＝6n－3(n∈N*)
解析 方法一 设公差为d.
∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，
∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，
∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N*)．
方法二 设公差为d，
∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，
∴a6＝33，∴d＝＝6.
∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N*)．
8．(2019·三明质检)在等差数列{an}中，若a7＝，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝.
答案 0
解析 根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13
＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.
9．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝.
答案
解析 在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，
因此＝＝＝.
10．(2018·湘潭模拟)已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝.
答案 (n2－3n＋3)2
解析 数列{－}是公差为2的等差数列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝(－1)＋2(n－1)，
－＝(－1)＋2，
∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1
＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立．
∴an＝(n2－3n＋3)2.
11．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列．
(2)解 由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
12．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N*)．
(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
13．(2018·佛山质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于( )
A．90 B．100
C．110 D．120
答案 A
解析 设{an}公差为d，
＝＝＝2d＝＝4，
∴d＝2，b1＋b3＝＋＝＋＝17，
＝1，a1＝0，
∴S10＝10a1＋d＝×2＝90，故选A.
14．(2018·菏泽模拟)已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S6＝－9，S8＝4，若满足不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个，则实数λ的取值范围为____________．
答案
解析 不妨设Sn＝An2＋Bn，由S6＝－9，S8＝4，
得则
所以nSn＝n3－n2，令f(x)＝x3－x2，
则f′(x)＝3x2－15x＝3x(x－5)，易得数列{nSn}在1≤n≤5，n∈N*时单调递减；
在n>5，n∈N*时单调递增．令nSn＝bn，有b3＝－，b4＝－56，b5＝－，b6＝－54，b7＝－.若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为.
15．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝.
答案 40
解析 设an＝2＋(n－1)d，
所以＝
＝，
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2.
所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
16．记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n
－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．
解 由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1
＝2n－2(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＝(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝(n∈N*)．
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，
两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n(n∈N*)．
所以cn＝(2－k)n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
