数学（理）卷·2018届天津市和平区高二上学期期末质量调查（2017-01）

数学（理）卷·2018届天津市和平区高二上学期期末质量调查（2017-01）

天津市和平区2016-2017学年高二上学期期末质量调查 ‎ 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共30分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.已知，，动点满足，则点的轨迹是 （ ）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在 ‎3.在空间直角坐标中，点到平面的距离是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D． ‎ ‎4.已知空间两点，则线段的长度为（ ）‎ A．6 B． C. D．‎ ‎5.抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.直线的方向向量分别为，，则（ ）‎ A． B． C. 与相交不平行 D．与重合 ‎8.已知在空间四边形中，，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于 轴的双曲线的弦，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ ‎10.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C. 6 D．8‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.顶点在原点，对称轴是轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.‎ ‎12.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是__________.‎ ‎13.已知椭圆的三个顶点，，，焦点，且，则椭圆的离心率为__________.‎ ‎14.已知，，与的夹角为，则的值为_________.‎ 三、解答题 （本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. （本题满分10分）‎ 求满足下列条件的椭圆的标准方程.‎ ‎（1）焦点在轴上，，；‎ ‎（2）经过点，.‎ ‎16. （本题满分10分）‎ 已知为抛物线上不同的两点，若抛物线的焦点为，线段恰被点所平分.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 如图，已知四棱锥的底面为矩形，底面，，，为线段的中点，在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18. （本题满分10分）‎ 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19. （本题满分10分）‎ 如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为.已知，，，，.‎ ‎（1）设点是的中点，证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 和平区2016-2017学年度第一学期高二年级数学(理)‎ 期末质量调查试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 选择题（共30分）‎ 一、选择题.‎ ‎1-5:CBBAD 6-10:CABDC 第Ⅱ卷 非选择题（共70分）‎ 二、填空题（共20分）.‎ ‎11. . 12. . 13.. 14..‎ 三、解答题（共50分）.‎ ‎15.（本题满分10分）‎ ‎（1）解：由得，，解得，，……2分 因为，‎ 所以，……4分 因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ‎.……5分 由于椭圆经过点为，即为椭圆的顶点，且在轴上，……8分 所以，若点为长轴的顶点，则，‎ 此时，所以，所以，‎ 则椭圆的标准方程为.……9分 若点为短轴的顶点，则，此时，所以，‎ 则椭圆的标准方程为.……10分 ‎16.（本题满分10分）‎ ‎（1）解：因为抛物线的焦点为，‎ 所以，所以，……2分 于是，所求抛物线的方程为.……4分 ‎（2）解：设，‎ 则，①‎ ‎，②……4分 因为点是线段的中点，……7分 所以，……7分 由②-①得，，‎ 所以，即，……9分 所以所求直线的方程为，‎ 即.……10分 ‎17.（本题满分10分）‎ ‎（1）证明：如图，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分 依题意，，……2分 则，……3分 所以.‎ 所以，即.……4分 ‎（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ‎，‎ 则，……5分 设平面的一个法向量为，‎ 由得解得 不妨设，则，可得.……7分 设直线与平面所成的角为，‎ 又，‎ 因为，……9分 所以，‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.……10分 ‎18.（本题满分10分）‎ ‎（1）解：由已知得，……1分 即，‎ 解得，……3分 所以椭圆方程为.……4分 ‎（2）解：将代入并整理得.‎ ‎.……5分 设，‎ 因为以为直径的圆过点，‎ 所以，‎ 所以，则，……6分 因为，‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以，①……8分 对于方程有，，‎ 代入①并整理得，，解得.……9分 此时方程，‎ 所以存在，满足题设条件.……10分 ‎19.（本题满分10分）‎ ‎（1）证明：如图，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分 依题意，，‎ 因为，……3分 所以，‎ 所以，‎ 又平面，所以平面.……4分 ‎（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ‎，‎ 则，……5分 设为平面的一个法向量，‎ 由得解得 不妨设，则 所以.……7分 设为平面的一个法向量，‎ 由得解得 不妨设，则，‎ 所以.……9分 因为，，‎ 于是，‎ 所以，二面角的正弦值为.……10分