天津市静海区第一中学2020届高三下学期期中考试数学试题

天津市静海区第一中学2020届高三下学期期中考试数学试题

高三数学（期中）‎ 一、选择题: （每小题5分，共45分,每小题只有一个正确选项.）‎ ‎1.已知，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集运算，属于简单题.‎ ‎2.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断充分性和必要性，取，，得到不充分，得到答案.‎ ‎【详解】若数列为递增数列，在，故，必要性；‎ 若取，，，不满足，故不充分.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了充分性和必要性，意在考查学生的推断能力.‎ ‎3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．‎ ‎【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．‎ ‎【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．‎ ‎4.函数在上的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数为奇函数排除，，排除，得到答案.‎ ‎【详解】，则 ‎，函数为奇函数，排除；‎ ‎，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的识图能力和综合应用能力.‎ ‎5.已知函数，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，确定函数单调递减，计算，得到答案.‎ ‎【详解】画出函数图像，根据图像知函数单调递减，‎ ‎，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎6.直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知直线过圆心得到，再利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】，即，圆心为，半径为.‎ 弦长为，则直线过圆心，即，即.‎ ‎，当时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆位置关系，均值不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎7.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①的周期为；②在上单调递增；‎ ‎③函数在上有个零点；④函数的最小值为.‎ 其中所有正确结论的编号为（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】，则，①正确；‎ ‎，当，，函数先增后减，②错误；‎ ‎，即，，共有2个解，故③错误；‎ ‎，最小值为，④正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，周期，零点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 计算，根据得到，得到渐近线方程.‎ ‎【详解】，故，取渐近线方程为，‎ 取，则，，‎ 整理得到：，解得，故渐近线为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎9.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于对称的点为，得到直线方程，当与相切时，，计算，解得答案.‎ ‎【详解】取上一点，则关于对称的点为，‎ 即，即，直线过定点.‎ 当时，，，‎ 函数在上单调递减，在上单调递减，‎ 当与相切时，设切点为，‎ 则，，解得，故.‎ 当时，，即，‎ 则，解得.‎ 综上所述：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据交点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 二、填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎10.若，则复数的虚部为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，得到答案.‎ ‎【详解】，则，故复数虚部为.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.‎ ‎11.二项式，则该展开式中的常数项是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】二项式的展开式的通项为：‎ ‎，‎ 取得到常数项为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.在三棱锥中，面，是等腰三角形，其中则三棱锥的外接球的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算外接圆半径为，根据得到，得到表面积.‎ ‎【详解】，，则，设外接圆半径为，‎ ‎，即，‎ 设外接球半径为，则，故，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎13.已知均为正数，且，则当_____时，代数式的最小值为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变换，利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当，即，时等号成立.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换是解题的关键.‎ ‎14.在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作于，，，计算，根据等面积法得到，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过点作于，易知，故，‎ ‎.‎ ‎，故，故.‎ 根据等面积法：，解得.‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 三、解答题（共50分）‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得的值，由余弦定理及已知即可解得的值，由正弦定理即可得解的值；‎ ‎（2）由倍角公式及（1）可求的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值.‎ ‎【详解】（1）由，可得，‎ 由，可得：，‎ 由得；‎ ‎（2）， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16.某地有四人先后感染了新冠状病毒，其中只有到过疫区.‎ ‎（1）如果受到感染的概率分别为，那么三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？‎ ‎（2）若肯定受感染，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同样也假设受和感染的概率都是，在这种假定之下，B、C、D中直接受感染的人数为一个随机变量，求随机变量的分布列和均值（数学期望）.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接计算概率得到答案.‎ ‎（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎（2）根据题意：的可能取值为.‎ 则；；.‎ 故分布列为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎17.如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角二面角的正弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，，得到证明.‎ ‎（2）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.‎ ‎（3）假设存在点满足条件，设，设线与平面所成角为，，解得答案.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接，易知，‎ 平面，四边形为矩形，故平面.‎ 以分别为轴建立空间直角坐标系， ‎ 则，，，，，.‎ ‎，，，故，‎ 故平面.‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，则，即，‎ 取，则.‎ 设平面的一个法向量为，则，即，‎ 取，则.‎ 则，故二面角二面角的正弦值为.‎ ‎（3）假设存在点满足条件，设，则，‎ ‎，，设线与平面所成角为，‎ 则，解得或.‎ 故，故或.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎18.已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）面积的最大值为，化简得到答案.‎ ‎（2）直线：，设圆心为，，根据相切得到 ‎，联立直线方程得到，代入椭圆方程解得答案.‎ ‎【详解】（1）面积的最大值为，化简整理得到，‎ 即，解得或（舍去），故.‎ ‎（2）直线：，设圆心为，，‎ 则圆方程为.‎ 圆与直线相切，则，故，‎ 故，则直线：.‎ 联立方程得到：，解得，‎ 将代入椭圆方程，解得.‎ 故椭圆方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率，椭圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和，求；‎ ‎（3）若数列的前项积为，求.‎ ‎（4）数列满足，，其中，求.‎ ‎（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）(4)问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.（5）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.‎ ‎（2），利用裂项求和法计算得到答案.‎ ‎（3），利用累乘法计算得到答案.‎ ‎（4），代入公式计算得到答案.‎ ‎（5）介绍裂项求和和分组求和法，根据方法特点得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，解得，故.‎ ‎，即，，解得或（舍去）.‎ ‎，故.‎ ‎（2），‎ 故.‎ ‎（3），故.‎ ‎（4），‎ 即.‎ ‎（5）根据题意：（2）中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；（4）中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一部分集中起来计算，易于计算.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项相消法，分组求和法，累乘法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎20.设函数其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：函数无零点；‎ ‎（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立. ‎ ‎【答案】（1）时，函数单调递减；时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.‎ ‎（2），即，设，证明，得到证明.‎ ‎（3）讨论，，三种情况，计算，得到函数单调性，得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，‎ 当时，恒成立，函数单调递减；‎ 当时，取，，解得，‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述：时，函数单调递减；时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2），即，设，‎ 则在上恒成立，故恒成立，故无解.‎ 即时，函数无零点.‎ ‎（3），即 当时，函数单调递减，故，恒成立，故不成立；‎ 当时，，故，恒成立，故不成立；‎ 当时，设，‎ 则，‎ 故恒成立.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性，函数零点问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎