数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二上学期开学数学试卷 (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二上学期开学数学试卷 (解析版)

‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二(上)开学数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ ‎1.算法的三种基本结构是(  )‎ A.顺序结构、模块结构、条件结构 B.顺序结构、循环结构、模块结构 C.顺序结构、条件结构、循环结构 D.模块结构、条件结构、循环结构 ‎2.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为1~50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是(  )‎ A.抽签法 B.分层抽样法 C.随机数表法 D.系统抽样法 ‎3.一个三位数字的密码锁,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记了密码最后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m﹣8)+(m﹣2)i是纯虚数,则实数m=(  )‎ A.2 B.﹣4或2 C.2或﹣4 D.﹣4‎ ‎5.假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆,为检验公司的产品质量,现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取(  )‎ A.16,16,16 B.8,30,10 C.4,33,11 D.12,27,9‎ ‎6.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,估计这辆汽车在这段公路时速的众数是(  )‎ A.60 B.65 C.60.5 D.70‎ ‎7.下列函数中既是奇函数,又是在(0,+∞)上为增函数的是(  )‎ A. B. C.y=﹣x3 D.y=lg2x ‎8.在如图所示的程序框图中,如果任意输入的t∈[﹣2,3],那么输出的s取值范围是(  )‎ A.[﹣8,﹣1] B.[﹣10,0] C.[﹣10,6] D.(﹣6,6]‎ ‎9.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 附:‎ 参照附表,得到的正确结论是(  )‎ A.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎10.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是(  )‎ A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 ‎11.过抛物线y2=4x(p>0)的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,则=(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎12.已知函数f(x)=log2x﹣2log2(x+c),其中c>0.若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,则c的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点,M、N 是该抛物线上两点,‎ ‎|MF|+|NF|=6,则 MN中点的横坐标为  .‎ ‎14.在棱长为3的正方体内任取一点P,则点P到正方体各个面的距离都不小于1的概率为  .‎ ‎15.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某四天的用电量与当天气温,列表如下:‎ 由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a.据此预测当气温为﹣4°C时,用电量为  (单位:度).‎ 气温(x℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ ‎16.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率e2,则=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(17题10分,其余每题12分,总计70分)‎ ‎17.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩最好?谁的各门功课发展较平衡?‎ 甲 ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎70‎ 乙 ‎80‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎18.某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者,参加广州亚运会的服务工作.求:‎ ‎(1)选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率;‎ ‎(2)选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖,另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.‎ ‎19.选修4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,过点作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎20.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.‎ ‎21.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.‎ ‎22.动点P(x,y)到定点F(1,0)与到定直线,x=2的距离之比为.‎ ‎(Ⅰ)求P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l(与x轴不重合)与(Ⅰ)中轨迹交于两点M、N.探究是否存在一定点E(t,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二(上)开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ ‎1.算法的三种基本结构是(  )‎ A.顺序结构、模块结构、条件结构 B.顺序结构、循环结构、模块结构 C.顺序结构、条件结构、循环结构 D.模块结构、条件结构、循环结构 ‎【考点】排序问题与算法的多样性.‎ ‎【分析】本题是概念型题,算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构、循环结构,由此对比四个选项得出正确选项即可.‎ ‎【解答】解:算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构、循环结构,‎ 故答案为:C.‎ ‎ ‎ ‎2.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为1~50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是(  )‎ A.抽签法 B.分层抽样法 C.随机数表法 D.系统抽样法 ‎【考点】系统抽样方法.‎ ‎【分析】当总体容量N较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,预先制定的规则指的是:在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.‎ ‎【解答】解:当总体容量N较大时,采用系统抽样,‎ 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,‎ 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,‎ 在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.一个三位数字的密码锁,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记了密码最后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】由已知中一个三位数字的密码锁,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记了密码最后一个号码,我们易求出基本事件总数为10,满足条件的基本事件个数为1,代入古典概型概率计算公式,即可求出答案.‎ ‎【解答】解:由于最后一位上取值在0到9这十个数字中任选,‎ 则基本事件共有10种,‎ 其中随意拨动最后一个数字恰好能开锁的基本事件只有一种 故随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m﹣8)+(m﹣2)i是纯虚数,则实数m=(  )‎ A.2 B.﹣4或2 C.2或﹣4 D.﹣4‎ ‎【考点】复数的基本概念.‎ ‎【分析】由实部等于0且虚部不等于0联立不等式组求得实数m的值.‎ ‎【解答】解:∵z=(m2+2m﹣8)+(m﹣2)i是纯虚数,‎ ‎∴,解得:m=﹣4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆,为检验公司的产品质量,现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取(  )‎ A.16,16,16 B.8,30,10 C.4,33,11 D.12,27,9‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】由题意先求出抽样比例,再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目.‎ ‎【解答】解:因总轿车数为9600辆,而抽取48辆进行检验,抽样比例为 =,‎ 而三种型号的轿车有显著区别,根据分层抽样分为三层按比例,‎ ‎∵“远景”型号的轿车产量是1600辆,应抽取辆,‎ 同样,得分别从这三种型号的轿车依次应抽取8辆、30辆、10辆.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,估计这辆汽车在这段公路时速的众数是(  )‎ A.60 B.65 C.60.5 D.70‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】根据频率分布直方图,结合众数的定义,求出这组数据的众数即可.‎ ‎【解答】解:根据频率分布直方图,得;‎ 众数是频率分布直方图中最高的条形图底边中点的横坐标,‎ ‎∴估计汽车通过这段公路时速的众数应是=65.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.下列函数中既是奇函数,又是在(0,+∞)上为增函数的是(  )‎ A. B. C.y=﹣x3 D.y=lg2x ‎【考点】奇偶性与单调性的综合.‎ ‎【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案.‎ ‎【解答】解:y=x+是奇函数,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴在(0,+∞)上不单调,故排除A;‎ y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故y=不具备奇偶性,故排除B;‎ y=﹣x3是奇函数,但在(0,+∞)上单调递减,故排除C;‎ y=lg2x的定义域为R,且lg2﹣x==﹣lg2x,∴函数为奇函数,‎ 又t=2x递增,y=lgt递增,∴y=lg2x在(0,+∞)上递增,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.在如图所示的程序框图中,如果任意输入的t∈[﹣2,3],那么输出的s取值范围是(  )‎ A.[﹣8,﹣1] B.[﹣10,0] C.[﹣10,6] D.(﹣6,6]‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出s=,分类讨论即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出s=,‎ 故:当t∈[﹣2,0),s=5t∈[﹣10,0),‎ 当t∈[0,3],s=2t2﹣4t∈[﹣2,6],‎ 综上可得输出的s取值范围是:[﹣10,6].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 附:‎ 参照附表,得到的正确结论是(  )‎ A.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎【考点】独立性检验.‎ ‎【分析】通过图表读取数据,代入观测值公式计算,然后参照临界值表即可得到正确结论.‎ ‎【解答】解:由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15.‎ 则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100.‎ 代入,‎ 得k2的观测值k=.‎ 因为2.706<3.030<3.841.‎ 所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是(  )‎ A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 ‎【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数.‎ ‎【分析】对各个选项分别加以判断:根据极差的定义结合图中的数据,可得出A正确;根据中位数的定义结合图中的数据,可得出B正确;通过计算平均数的公式结合图中的数据,可得出C正确;通过计算方差的公式,结合图中的数据,可得出D不正确.由此可以得出答案.‎ ‎【解答】解:首先将茎叶图的数据还原:‎ 甲运动员得分:19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40‎ 乙运动员得分:17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33‎ 对于A,极差是数据中最大值与最小值的差,‎ 由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47﹣16=21,乙运动员得分的极差为33﹣17=16,‎ 得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差,因此A正确;‎ 对于B,甲数据从小到大排列:18 18 19 20 21 26 30 32 33 35 40 41 47‎ 处于中间的数是30,所以甲运动员得分的中位数是30,同理求得乙数据的中位数是26,‎ 因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数,故B正确;‎ 对于C,不难得出甲运动员的得分平均值约为29.23,乙运动员的得分平均值为25.0,‎ 因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值,故C正确;‎ 对于D,分别计算甲、乙两个运动员得分的方差,方差小的成绩更稳定.‎ 可以算出甲的方差为:‎ ‎=88.22,‎ 同理,得出乙的方差为:S乙2=29.54‎ 因为乙的方差小于甲的方差,所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定,故D不正确.‎ 故选D ‎ ‎ ‎11.过抛物线y2=4x(p>0)的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,则=(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】设出两直线的倾斜角,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|CD|即可求得答案.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=4x,可知2p=4,‎ 设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为﹣θ,‎ 过焦点的弦,|AB|=,|CD|==‎ ‎∴=+==,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=log2x﹣2log2(x+c),其中c>0.若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,则c的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】抽象函数及其应用;函数恒成立问题.‎ ‎【分析】把函数f(x)的解析式代入f(x)≤1后,利用对数式的运算性质变形,去掉对数符号后把参数c分离出来,然后利用二次函数求最值,则c的取值范围可求.‎ ‎【解答】解:由f(x)≤1,得:log2x﹣2log2(x+c)≤1,‎ 整理得:,所以x+c≥,‎ 即c≥(x>0).‎ 令(t>0).‎ 则.‎ 令g(t)=,其对称轴为.‎ 所以.‎ 则c.‎ 所以,对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤1的c的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点,M、N 是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则 MN中点的横坐标为 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出x1+x2=4,即可求出MN中点的横坐标.‎ ‎【解答】解:∵F是抛物线y2=4x的焦点 ‎∴F(1,0),准线方程x=﹣1,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2)‎ ‎∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6,‎ 解得x1+x2=4,‎ ‎∴线段MN的中点横坐标为2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.在棱长为3的正方体内任取一点P,则点P到正方体各个面的距离都不小于1的概率为  .‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】根据点P与正方体各表面的距离都大于1,则所在的区域为以棱长为1的正方体内,则概率为两正方体的体积之比.‎ ‎【解答】解:符合条件的点P落在棱长为1的正方体内,‎ 根据几何概型的概率计算公式得P==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某四天的用电量与当天气温,列表如下:‎ 由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a.据此预测当气温为﹣4°C时,用电量为 68 (单位:度).‎ 气温(x℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】求出样本中心(,),代入求出a,结合线性回归方程进行预测即可.‎ ‎【解答】解: =(18+13+10﹣1)=10,‎ ‎=(24+34+38+64)=40,‎ 则﹣20+a=40,‎ 即a=60,‎ 则回归直线方程=﹣2x+60.‎ 当气温为﹣4°C时,用电量为=﹣2×(﹣4)+60=68,‎ 故答案为:68‎ ‎ ‎ ‎16.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率e2,则= 4 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】如图所示,设椭圆与双曲线的标准方程分别为:,(ai,bi>0,a1>b1,i=1,2),==c2,c>0.设|PF1|=m,|PF2|=n.可得m+n=2a1,n﹣m=2a2,由于∠F1PF2=,在△PF1F2中,由余弦定理可得:(2c)2=,化简整理即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 设椭圆与双曲线的标准方程分别为:,(ai,bi>0,a1>b1,i=1,2),‎ ‎==c2,c>0.‎ 设|PF1|=m,|PF2|=n.‎ 则m+n=2a1,n﹣m=2a2,‎ 解得m=a1﹣a2,n=a1+a2,‎ 由∠F1PF2=,在△PF1F2中,‎ 由余弦定理可得:(2c)2=,‎ ‎∴4c2=+﹣(a1﹣a2)(a1+a2),‎ 化为+,‎ 化为=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题(17题10分,其余每题12分,总计70分)‎ ‎17.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩最好?谁的各门功课发展较平衡?‎ 甲 ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎70‎ 乙 ‎80‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】先求出甲和乙的平均数,再求出甲和乙的方差,结果甲的平均数大于乙的平均数,甲的方差大于乙的方差,得到结论.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎,‎ ‎∵‎ ‎∴甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.‎ ‎ ‎ ‎18.某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者,参加广州亚运会的服务工作.求:‎ ‎(1)选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率;‎ ‎(2)选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖,另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】(1)把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4.2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选2名的所有可能结果共15个,从6名同学中任选2名,都是书法比赛一等奖的所有可能是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.根据古典概型概率公式得到结果.‎ ‎(2)本题是一个等可能事件的概率,列举出试验发生包含的事件,共有15个基本事件,选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖,另1名是获得绘画比赛一等奖的列举出共有8种结果,根据概率公式得到结果.‎ ‎【解答】解:把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4.2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.‎ 从6名同学中任选2名的所有可能结果如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.‎ ‎(1)从6名同学中任选2名,都是书法比赛一等奖的所有可能是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.‎ 所以选出的2名志愿者都是书法比赛一等奖的概率 ‎(2)从6名同学中任选2名,1名是书法比赛一等奖,另1名是绘画比赛一等奖的所有可能是(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.‎ 所以选出的2名志愿者1名是书法比赛一等奖,另1名是绘画比赛一等奖的概率是.‎ ‎ ‎ ‎19.选修4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,过点作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎【考点】直线的参数方程;直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用直线的参数方程的意义即可写出;‎ ‎(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的方程,利用根与系数的关系即可求出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵直线l过点且倾斜角为α,‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数);‎ ‎(Ⅱ)把(t为参数)代入x2+y2=1,‎ 得,‎ ‎∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,‎ ‎∴△=>0,‎ 化为.‎ 又,t1t2=2.‎ ‎∴=﹣===,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎20.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】(1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,根据频率的和等于1建立等式解之即可;‎ ‎(2)60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,从而求出抽样学生成绩的合格率,再利用组中值估算抽样学生的平均分即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:f4‎ ‎=1﹣(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.3‎ ‎(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,‎ 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75所以,抽样学生成绩的合格率是75%‎ 利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6‎ ‎=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71‎ 估计这次考试的平均分是71.‎ ‎ ‎ ‎21.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐标方程.直线L的参数方程是 ‎(t为参数),把t=2y代入+m消去参数t即可得出.‎ ‎(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|•|PB|=t1t2,即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.‎ 直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.‎ ‎(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,‎ 由△>0,解得﹣1<m<3.‎ ‎∴t1t2=m2﹣2m.‎ ‎∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|,‎ ‎∴m2﹣2m=±1,‎ 解得,1.又满足△>0.‎ ‎∴实数m=1,1.‎ ‎ ‎ ‎22.动点P(x,y)到定点F(1,0)与到定直线,x=2的距离之比为.‎ ‎(Ⅰ)求P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l(与x轴不重合)与(Ⅰ)中轨迹交于两点M、N.探究是否存在一定点E(t,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接由题意列等式,化简后求得点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)假设存在点E(t,0)满足题设条件,并设出M,N的坐标,分MN和x轴垂直和不垂直讨论,当MN和x轴不垂直时设出直线l的方程,和(Ⅰ)中求得的轨迹方程联立后化为关于x的一元二次方程,由根与系数关系求得M、N的横坐标的和与积,结合x轴平分∠MEN得到KME+KNE=0,进一步转化为含有M、N的横坐标的关系,代入根与系数关系后求得t的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,,‎ 化简得,x2+2y2=2,即,即点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若存在点E(t,0)满足题设条件.并设M(x1,y1)、N(x2,y2),‎ 当MN⊥x轴时,由椭圆的对称性可知,x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等.‎ 当MN与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0).‎ 联立,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.‎ ‎∴,‎ 根据题意,x轴平分∠MEN,则直线ME、NE的倾斜角互补,即KME+KNE=0.‎ 设E(t,0),则有(当x1=t或x2=t时不合题意),‎ 又k≠0,∴,‎ 将y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1)代入上式,得,‎ 又k≠0,∴,‎ 即,,‎ ‎∴2x1x2﹣(1+t)(x1+x2)+2t=0,‎ 将代入上式,解得t=2.‎ 综上,存在定点E(2,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等.‎ ‎ ‎ ‎2017年4月19日
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