皖江名校第四次大联考文科数学参考答案

皖江名校第四次大联考文科数学参考答案

第 1 页 共 4 页 数学参考答案（文科） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C A B A D D B A C D C 1．【 解析】根据复数模的性质. 4 3 5| | | | 512 5 iz i    。 2.【解析】集合 ( 2,1)B  ，所以 { 2,1,2}UAB（ ） ，有 3 个元素。 3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于 0，反过来不成立。 4.【解析】 3927 =3.14161250 ， 355 =3.141592113 ， 22 =3.1428577 ， 9.8684=3.14140096 ，故选 B。 5.【解析】 (1) 1 ( ( 1) 1)ff     ，所以 ( 1) 3f    。 6.【解析】任意一个和 11ACC A 平行的平面，和线段 1AB， 1BC相交所得的 MN 都符合要求。 7.【解析】 11=1n nka n k n k  ，由 k 是正数及反比例函数的单调性知50k且 60k，故选 D。 8.【解析】 12 11 10 1320sum     ，判断框在 12,11,10i  都满足条件， 9i  不满足，故选 B 9.【解析】 ( ) 1 ( ) 322ff   ， ，故选 A。 10.【解析】 22221 1 1 1 5322 2 2 2 2AO BC AO AC AO AB AC AB         . 11.【解析】设点 0 0 1( , )Px x ，切线 l 方程为 2 00 12yxxx   ，所以 0 0 2(2 ,0), (0, )A x B x ， 点 是 AB 中点，S2AOB  ,命题（1）（ 2）都正确。过原点作倾斜角等于15 和 75 的 2 条射线与曲线的交点为 ,MN，由对称性知 OMN 是等边三角形，命题（3） 正确。过原点作 2 条夹角等于 45 的射线与曲线的交点为 ，当直线OM 的倾斜角从90 减少到 45 的过 程中， OM ON 的值从 + 变化到 0 ，在这个过程中必然存在 的值为 2 和 2 2 的时刻，此时 是等腰 直角三角形，命题（4）正确. 12.【解析】令 '2( ) 2 0f x x x   ，得 120, 2xx，在开区间 ( , 5)aa 内的最小值一定是 4(2) 3f  。 可求 4( 1) (2) 3ff    ，所以 12 52 a a      ，得实数 a 的取值范围是[ 1,2) 。 第 2 页 共 4 页 13.【答案】 7 25 【解析】  ，  为锐角 243sin 1 55     ， 234sin( ) 1 55           224 3 7sin sin sin cos cos sin 5 5 25                                14.【答案】55 【解析】由已知三棱锥对棱相等，可以补形为长方体，设长方体的长宽高分别为 cba ,, ， 可得 110493625)(2 222  cba ， 55222  cba ， 554 2 R ， 55S 。 15.【答案】 7 30 【解析】由题设奇函数 ()fx关于点（ 1,0）对称，所以函数是周期函数，且最小正周期 2T  ， 所以 10 3 2 1 2 1 1 1 7( ) ( ) ( ) ( )3 10 3 10 3 10 3 10 30f f f f            。 16.【答案】 3 【解析】 21 sin sin 12S AB AC A AC A   ，所以 2 1 sinAC A ， 根据余弦定理 2 2 2 2 5 4cos2 cos (5 4cos ) sin ABC AB AC AB AC A A AC A       所以 24sin 4cos 16 sin( ) 5BC A A BC A      ，可得 4 16 5BC ，解得 3BC  。 17.【解析】(1)设等比数列 na 的公比为 q ，因为 3 3 3 4 5 6 1 2 3 6 3 3 3( ) (1 )a a a q a a a S S q S q S          所以 3 631 9 27qq     ，所以 3 1 1 1 12 4 7 1S a a a a      ，所以 12n na  。………………………5 分 （2）因为 1 2( 1) 2 1nna b n n      ，所以 1(2 1) 2 (2 1)n nnb a n n      因此 12= 1 2 2 ) (1 3 2 1) 2 1nn nT n n          （ . ………………………………………………10 分 18.【解析】（1）由题意，侧面 PAB 是等腰直角三角形， 3 2 2 2PB PM， 作 //MN BC 交 PC 于 N ,连接 DN .因为 22 332 PM MN MN PB BC   ,所以 2MN  ,又 / / , / / , 2MN BC AD BC AD  , 所以 / / ,MN AD MN AD且 ,四边形 AMND 是平行四边形， //AM DN 又 DN PCD 平面 ,所以 //AM PCD平面 。…………………………………6 分 （2）由题设 / / , , AD/ /AD BC BC PBC PBC 平面 所以 平面 , 因此点 D 到平面 PMC 的距离等于点 A 到平面 PBC 的距离。 由已知 AD PAB 平面 ,所以 BC PAB 平面 ,可得 PBC PAB平面 平面 ， 作 AN PB 于 N ，则 AN PBC 平面 ， AN 的长度就是点 到 平面 的距离。 是等腰直角三角形，所以 3 22AN  , 即点 到平面 的距离等于 3 22 。………………………………………………………………12 分 （如用等体积等其他方法求距离，正确即给满分） 第 3 页 共 4 页 19.【解析】（1）根据正弦定理 2 2 2sin sin 2 2cossin sin a A B a c bBb B B ac     所以 2 2 2 2()a c b a c b   ，整理得 22a b bc。 …………………………………………………………4 分 （2）由（1）得 226 4 4 5cc    ，根据角平分线定理 CA CB AD BD ,可得 2, 3AD BD; …………6 分 设 CD x ，由 ADC BDC     ,得 224 16 9 36cos cos 046 xxADC BDC xx          ， ……………10 分 解得 32x  ，所以角平分线CD 的长等于32。…………………………………………………………12 分 说明：第（1）小题用相似三角形证明给分，第（2）题角平分线定理也可以用面积比得到，过程正确均给 满分。 20.【解析】（1）连接 BD ，由题设 1 1 1 1/ / ,BB DD BB DD , 所以四边形 11BB D D 是平行四边形，所以 11//BD B D . 由题设，四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AD 中点 E ,连接 ,BE CE , 因为 2, / /BC DE BC DE ,所以四边形 BCDE 是平行四边形， 2BE CD,所以 AE DE BE,得到 2ABD ,因此 AB BD . 又由题设， 11BB ABC BB BD  平面 ,又 1AB BB B 所以 11BD ABB A 平面 ,又 （已证） 所以 1 1 1 1B D ABB A 平面 ，而 1 1 1 1 1B D B C D 平面 ,因此 1 1 1 1 1B C D ABB A平面 平面 。…………………………6 分 （2）如图，平面 11BDD B 把多面体分成两部分，分别计算。 易求 2 3, 3ABD BCDSS.多面体 1 1 1ABD A B D 可分为一个三棱锥和一个三棱柱，多面体 1 1 1BCD B C D 可看成三棱柱 1 2 1BCD B C D 截去三棱锥 2 1 1 1C B C D . 12 11(2 3 2 2 3 2) ( 3 2 3 1) 7 333V V V             .（如用补形为棱柱计算也可以）…………12 分 21.【解析】函数 ()fx的定义域是 (0, ) ， （1） 1a  时， 21( ) 2ln ( 0)2f x x x x a    ，求导得 2 ' 2 2 ( 1)( 2)( ) 1 x x x xf x x x x x         ， 令 ' ( ) 0fx 得 (0,1)x ，令 ' ( ) 0fx 得 (1 +x， ）， 所以 的单调递减区间是 (0,1) ，上单调递增区间是 (1, ) 。…………………………………………4 分 （2） 2 ' 22( ) 1 ax xf x ax xx     ，记 2( ) 2g x ax x   ，若 ()fx在定义域内是单调函数， 则导函数在定义域内没有变号零点， ()gx在 没有变号的零点。 根据二次函数的性质， 0a  时， 12 21 8 0, 0a x x a      ，一定有正根 1x ， 第 4 页 共 4 页 在区间 10, )x（ 上 '( ) 0, ( ) 0, ( )g x f x f x单调递减， 在区间 1 +)x （ ， 上 '( ) 0, ( ) 0, ( )g x f x f x单调递增，不合题意。 当 0a  时，若 11 8 0 8aa      ，此时 ()fx在定义域内是单调递减，符合题意；若 11 8 0 8aa    > ， 此时有 3 4 3 4 120, 0x x x xaa       ，则 ()gx有两个不相等的正根， 有 2 个极值点，不是单调函数。 综上所述，若函数 在定义域内是单调函数，求实数 a 的取值范围是 1,]8（- 。 …………………12 分 22.【解析】（1）令 '( ) ( )=e cosxg x f x x，则 ' ( ) sinxg x e x ，显然 'g ( )x 在 ( ,0)4  单调递增。 因为 '' 4 2(0) 1, ( ) 042g g e        ，（因为 11 3 4 4 2 4 24 4 2 2 2e e e e            ） 故存在唯一的 0 ,0)4x （- 使得 ' 0( ) 0gx  .所以当 0,)2xx（- 时， ' ( ) 0gx ， 当 0( ,0)xx 时， ' ( ) 0gx ，所以函数 ()gx在区间 0( , )2 x 上单调递减，在区间 0( ,0)x 上单调递增， 所以函数 ，即 ' ()fx在区间( ,0)2  存在唯一的极小值点 0x ，且 0 ,0)4x （ 。…………………6 分 （2）当 ( , )2x    时， ' ( )=e cos 0xf x x， ()fx单调递增， 2( ) 1 0 ( )= 02f e f e         ， 2( ) ( ) ( 1) 02f f e e        ，所以 在区间 ( , )2  上存在唯一的零点。 ( 0)2x  ， 时，由（1）当 时， ， ()gx 单调递减， 2( ) 02ge      ， 0( ) ( ) 04g x g    ，所以存在 10( , )2xx ，使得 1( ) 0gx  。 当 1( , )2xx ， '( ) ( ) 0g x f x，当 ' 1( ,0), ( ) ( ) 0,x x g x f x   所以 ()fx 在 ,0)2 （- 先递增后递减， 2( )= 0 (0) 02f e f     ， ， 在 没有零点； 因为 (0) 0f  ，所以 0x  是 的第二个零点； (0, )x  时， ' ( )=e cos 0xf x x， 单调递增， ( ) (0) 0f x f，没有零点。 综上所述，当 ( , )x    时， 有且只有两个零点。…………………………………………………12 分