高考数学难点突破09__指数、对数函数
高中数学难点 9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概
念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设 f(x)=log2
x
x
1
1 ,F(x)= x2
1 +f(x).
(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)> 1n
n ;
(3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解.
●案例探究
［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、
B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.
(1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；
(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知
识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标.
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点
A 的坐标.
(1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为
log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以
2
28
1
18 loglog
x
x
x
x ,点 C、D 坐标分别为
(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1= 2log
log
8
18 x = 2log
loglog,log3
8
28
2218
xxx 3log8x2,所以 OC 的斜
率：k1=
1
18
2
12 log3log
x
x
x
x ,
OD 的斜率：k2=
2
28
2
22 log3log
x
x
x
x ，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.
(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= 3
1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2
得：x1
3log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x1
3=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为
( 3 ，log8 ).
［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn
位于函数 y=2000( 10
a )x(0
bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2
为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )－1>0,解得 a<－5(1+ 2 )
或 a>5( 5 －1).∴5( 5 －1)1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( )
二、填空题
3.( ★★★★★) 已知函数
f(x)=
)02( )(log
)0( 2
2 xx
xx
.则 f-－1(x－1)=_________.
4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分
钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y=
ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时，桶
1 和桶 2 的水相等，则再过_________分钟桶 1 中的水只有
8
a .
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，
点 Q(x－2a,－y)是函数 y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数 y=g(x)的解析式；
(2)若当 x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.
6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断
2
1
［f(x1)+f(x2)］与 f( 2
21 xx )的大小，并加以证明.
7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga
2x+loga
2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠
1),求 loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式 2(log
2
1 x)2+9(log x)+9≤0 的解集为 M，求当 x∈M 时函数
f(x)=(log2
2
x )(log2
8
x )的最大、最小值.
参考答案
难点磁场
解：(1)由
x
x
1
1 >0,且 2－x≠0 得 F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则
F(x2)－F(x1)=(
12 2
1
2
1
xx )+(
1
1
2
2
2
2 1
1log1
1log x
x
x
x
)
)1)(1(
)1)(1(log)2)(2( 21
21
2
21
12
xx
xx
xx
xx
,
∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1.
因此 F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.
(2)证明：由 y=f(x)= x
x
1
1log2 得：2y=
12
12,1
1
y
y
xx
x ,
∴f－1(x)=
12
12
x
x
,∵f(x)的值域为 R，∴f-－1(x)的定义域为 R.
当 n≥3 时，f-1(n)> 1221
11
12
21112
12
1
nnn
n
n
n n
nn
n
.
用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明：∵F(0)= 2
1 ,∴F－1( 2
1 )=0,∴x= 是 F－1(x)=0 的一个根.假设 F－1(x)=0 还有一个解
x0(x0≠ ),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解.
歼灭难点训练
一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又 g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②
由①②得：g(x)= 2
x ,h(x)=lg(10x+1)－
2
x .
答案：C
2.解析：当 a>1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a>1 时，y=(1－a)x 为
减函数.
答案：B
二、3.解析：容易求得 f- －1(x)=
)1( 2
)1( log2
x
xx
x ,从而：
f－1(x－1)=
).2( ,2
)2(),1(log
1
2
x
xx
x
答案：
)2( ,2
)2(),1(log
1
2
x
xx
x
4.解析：由题意，5 分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n= 5
1 ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的
水只有
8
a ,则 y1=ae－n(5+t)= ,解得 t=10.
答案：10
三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x－2a,y′=－y.即 x=x′+2a,y=－y′.
∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即 y′=loga
ax 2
1 ,
∴g(x)=loga ax
1 .
(2)由题意得 x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0; = aa )3(
1 >0,又 a>0 且 a≠1,∴0＜a＜
1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga |=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2
－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2 在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ
(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ (x)］max=μ (a+2)=loga(4－4a),［μ
(x)］min=μ (a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组
1)44(log
1)69(log
10
a
a
a
a
a 的解.
由 loga(9－6a)≥－1 解得 0＜a≤
12
579 ,由 loga(4－4a)≤1 解得 0＜a≤
5
4 ,
∴所求 a 的取值范围是 0＜a≤ .
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( 2
21 xx )2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)，
当 a>1 时，有 logax1x2≤loga( )2,
∴
2
1 logax1x2≤loga( )，
2
1 (logax1+logax2)≤loga ,
即 [ f(x1)+f(x2)］≤f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)
当 0＜a＜1 时，有 logax1x2≥loga( )2,
∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 ［f(x1)+f(x2)］≥ f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”
号）.
7.解：由已知等式得：loga
2x+loga
2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,
令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u
－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=－u+k 有公共点，分两类讨论.
(1)当 u≥0,v≥0 时，即 a>1 时，结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 );
(2)当 u≤0,v≤0,即 0＜a＜1 时，同理得到 2(1－ )≤k≤1－ 3 .x 综上，当 a>1 时，logaxy
的最大值为 2+2 2 ，最小值为 1+ 3 ；当 0＜a＜1 时，logaxy 的最大值为 1－ ，最小值
为 2－2 .
8.解：∵2(
2
1log x)2+9(
2
1log x)+9≤0
∴(2 x+3)( x+3)≤0.
∴－3≤ x≤－
2
3 .
即 ( 2
1 )－3≤ x≤ ( ) 2
3
∴( ) ≤x≤( )－3,∴2 2 ≤x≤8
即 M={x|x∈［2 2 ,8］}
又 f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log2
2x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2 ≤x≤8,∴
2
3 ≤log2x≤3
∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=－1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.
