数学文卷·2019届福建省永春县第一中学高二下学期期初考试（2018-03）

数学文卷·2019届福建省永春县第一中学高二下学期期初考试（2018-03）

永春一中2017-2018学年度下学期期初考试试卷 高二文科数学（必修5+选修1-1）‎ 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题、填空题）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列抛物线中，准线方程为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若是实数，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.若等差数列中，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎4.下列关于命题的说法正确的是（ ）‎ A．若是真命题，则也是真命题 ‎ B．若是真命题，则也是真命题 ‎ C.“若则”的否命题是“则” ‎ D．“”的否定是“”‎ ‎5.若双曲线的中心在原点，离心率，左焦点是，则到渐近线的距离是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设满足约束条件则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，且满足，则的形状为（ ）‎ A．等腰直角三角形 B．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D．等腰钝角三角形 ‎8.若函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A．是的一个极值点 B．和都是的极值点 ‎ C.和都是的极值点 D．，，都不是的极值点 ‎9.若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走天，共走了里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（ ）‎ A． 里 B．里 C.里 D．里 ‎ ‎12.若定义在的函数的导数满足，且，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A． B． C. ‎ D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则的最小值为 ．‎ ‎14.若数列的前项和则 ．‎ ‎15.已知抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB长等于 ．‎ ‎16.据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于地，并以千米每小时的速度向北偏西的方向移动，假设距中心千米以内的区域都将受到台风影响.已知地在地的正西方向，地在地的正西方向，若小时后，两地均恰好受台风影响，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在△中，，且。‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积 。‎ ‎ ‎ 18. 已知等差数列的前项和是，等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ 18. 如图，在梯形中，,对角线,,.‎ ‎（I）求的长；‎ ‎（Ⅱ）若,求梯形的面积. ‎ ‎20.已知函数 ‎ ‎（I）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上单调递增，试求出的取值范围.‎ ‎21.已知椭圆的两焦点为，，离心率。‎ ‎（I）求此椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，且等于椭圆的短轴长，求的值.‎ ‎22.已知函数 （I） 若，求在处的切线方程；‎ （II） 证明：对任意正数，函数和的图象总有两个公共点.‎ ‎‎ 永春一中高二年期初考试数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 4 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）由正弦定理，得 ‎ -----------------2分 ‎∴‎ ‎∴ -----------------5分 ‎（Ⅱ）由余弦定理，得 ‎,‎ ‎∴。 -----------------8分 ‎∴‎ ‎=‎ ‎= -----------------10分 注：用海伦公式法，同样给分。‎ ‎18.（I）由解得 所以………………………………………………………………………………………………………………………………4分 因为所以 因为是各项均为正数的等比数列，所以 所以……………………………………………………………………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）……………………………………………………………………………………………8分 所以…………………………………………9分 所以……………………………………………………………………………………………………12分 ‎19.（I）因为,所以 所以 由得：‎ 解得：…………………………………………………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）法一：‎ 由余弦定理，得 即解得：或（舍去）.‎ 在中，由余弦定理，得 即：解得,‎ 又梯形的高 所以…………………………………………………………………………………12分 法二：同法一求得，‎ 又故 故………………………………………………………………………………………12分 ‎20.（I）当时，函数 令即解得 令解得或 所以当时，函数的单调递增区间是，‎ 单调递减区间是和. ……………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）法一：函数在上单调递增，‎ 等价于在区间恒成立，‎ 等价于在区间恒成立.等价于 令 因为 所以函数在区间上单调递增，‎ 故 所以的取值范围是…………………………………………………………………………………………12分 法二：函数在上单调递增，‎ 等价于在区间恒成立，‎ 令则命题等价于在区间恒成立.‎ （1） 当时，由解得 （2） 当时因为函数图像的对称轴 此时只有满足，解得.‎ 综上所述的取值范围是…………………………………………………………………………………12分 ‎21.解：（I）设椭圆方程为，‎ 则，，‎ 所求椭圆方程为. ……6分 ‎（Ⅱ）由，消去y，得，‎ 则得 （*）‎ 设，则，，‎ 解得：满足（*） ……12分 ‎22.（I）时，则 在处的切线的斜率 又时，即切点，‎ 所以在处的切线方程为：‎ ‎，即……………………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）法一：‎ 记 则（已知）.‎ 因为有意义，‎ 所以 所以在单调递减，在单调递增，‎ 故 记 因为 所以在单调递增，在单调递减，‎ 故 故恒成立，即 又时，时，，‎ 故在和各有一个零点，‎ 即和的图像在和各有且只有一个公共点. ……………………………12分 法二：函数和的图像总有两个公共点，等价于总有两个实数根.‎ 显示不是该方程的根.‎ 当时，‎ 记 则 再记 因为 所以在单调递增，在单调递减 所以 即 从而在和均单调递增，‎ 又时，时，时，，‎ 又时，时，时，，‎ 的草图如图：‎ 故对任意的正数，直线与的图像总有两个公共点，‎ 即方程总有两个根，‎ 即函数和的图像总有两个公共点，命题得证. …………………………………………………12分