内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

一中2018～2019学年度第二学期第一次调研高二数学（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数（是虚数单位）的虚部是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式，可得虚部．‎ ‎【详解】因为．‎ 所以复数的虚部为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算和复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．‎ ‎2.设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．‎ ‎【详解】若，，则与相交、平行或异面，故错误；‎ 若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；‎ 若，，则或，故错误；‎ 若，，则，或，或与相交，故错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，本程序框图为求的值，利用循环体，代入计算可得结论．‎ ‎【详解】根据题意，本程序框图为求的值 第一次进入循环体后，，；‎ 第二次进入循环体后，，；‎ 第三次进入循环体后，，‎ 第四次进入循环体后，，；‎ 退出循环.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．‎ ‎4.曲线C经过伸缩变换后，对应曲线方程为：，则曲线C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从变换规则入手，代入新方程化简可得.‎ 详解】把代入得，化简可得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.‎ ‎5.已知函数的极大值点为，极小值点为，则( )‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 令，即，‎ 解得：，，‎ 在递增，在，递减，在，递增，‎ 是极大值点，是极小值点，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和极值点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，解得，所以.‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎7.若函数向右平移个单位后，得到，则关于的说法正确的是（ ）‎ A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称 C. 在区间单调递增 D. 在单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用左加右减的平移原则，求得的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】函数向右平移个单位，得．‎ 由＝，得，所以不是的对称中心，故A错；‎ 由＝， 得，所以的图象不关于轴对称，故B错；‎ 由，得，‎ 所以在区间上不单调递增，在上单调递增，‎ 故C错，D对；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为或，从而可利用正（余）弦型周期计算公式周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．‎ ‎8.若是的共轭复数，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算，先求得，再求其共轭复数，则问题得解.‎ ‎【详解】由题知,则．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题.‎ ‎9.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝‎2a(其中‎2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F‎1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎10.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，‎ 其截面是一个梯形，‎ 上底长为，下底边长为，‎ 高为：，‎ 故截面的面积，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎11.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形 是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积．‎ ‎【详解】由余弦定理得，解得，‎ ‎，即．‎ 为平面所在球截面的直径．‎ 作平面，则为的中点，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键．‎ ‎12.定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.‎ ‎【详解】构造函数，，‎ 所以，函数为上的增函数，‎ 由，则，，可得，即，‎ ‎，因此，不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.与2的大小关系为________.‎ ‎【答案】＞‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平方作差即可得出．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎＝13+2（13+4）‎ ‎0，‎ ‎∴2，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14.点的直角坐标是，在，的条件下，它的极坐标是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得．‎ ‎【详解】，，，，‎ ‎，且在第四象限，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．‎ ‎15.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．‎ ‎【答案】217‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52），计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：‎ ‎100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，‎ 所以100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）=217．‎ 可求得100的所有正约数之和为217；‎ 故答案为：217.‎ ‎【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．‎ ‎16.已知点，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求出圆心坐标，设出坐标，由求得的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案．‎ ‎【详解】由，得圆心，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得，即．‎ 点在以为圆心，以2为半径的圆上，‎ 则圆与圆有公共点，满足，‎ 即，‎ 即，解得．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知曲线的极坐标方程,曲线的极坐标方程为,曲线,相交于两点.‎ ‎（1）把曲线,的极坐标方程化为直角方程;‎ ‎（2）求弦的长度.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线 直角坐标方程，由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程．‎ ‎（2）曲线：是以为圆心，为半径的圆，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式，由此能求出结果．‎ ‎【详解】（1）由，得，所以，‎ 即曲线的在极坐标方程为.‎ 由，可知曲线的在极坐标方程为.‎ ‎（2）因为圆心到直线的距离，‎ 所以弦长，所以的长度为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎18.为了解某市市民对政府出台楼市限购令态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：‎ 月收入 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”，月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”.‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 非高收入族 高收入族 总计 赞成 不赞成 总计 ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？‎ ‎（2）现从月收入在的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率.‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，90%；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；‎ ‎（2）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．‎ ‎【详解】（1）根据题意填写列联表如下； ‎ 非高收入族 高收入族 总计 赞成 ‎25‎ ‎3‎ ‎28‎ 不赞成 ‎15‎ ‎7‎ ‎22‎ 总计 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 计算，‎ 所以有的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；‎ ‎（2）设月收入在，的5人的编号为，，，，，其中，‎ 为赞成楼市限购令的人，‎ 从5人中抽取两人的方法数有，，，，，，，，，共10种，‎ 其中，，，，，，为所抽取的两人中至少有一人赞成的方法数，‎ 因此所求概率为．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，且平面平面，试证明平面；‎ ‎（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?（直接给出结论，不需要说明理由）‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证；（2）根据题目条件证明，，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）假设存在符合题意的点，根据面面垂直的判定推导出与题意矛盾的地方，即可得证．‎ 试题解析：（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；（2）在正方形中，，又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴，由（1）可知，‎ 又∵，∴，由点是棱中点，∴点是棱中点，‎ 在中，∵，∴，又∵，∴平面；（3）若存在符合题意的点：∵平面，平面，∴平面平面，而这与题意矛盾了，∴不存在．‎ 考点：1．线面平行的判定与性质；2．线面垂直的判定与性质．‎ ‎20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中，‎ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（2）的结果回答：当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）576.6，66.32.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；‎ ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程，再求关于的回归方程；（3）由（2）计算时年销售量和年利润的预报值的值．‎ ‎【详解】（1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；‎ ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程，‎ 由于，‎ ‎，‎ 关于的线性回归方程为，‎ 关于的回归方程为；‎ ‎（3）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，‎ 年利润的预报值是．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎21.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，点在 轴上，且，求点纵坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的方程为，求出的值即得解；‎ ‎（2）先写出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，，，根据方程的根与系数的关系可求，，然后由且在轴上，令解得，，即可得解．‎ ‎【详解】（1）设椭圆的方程为，设椭圆的右焦点为，‎ 所以.‎ 又，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题设直线的方程为.将代入并整理得，‎ ‎..‎ 设，，‎ 则，.‎ 设的中点为，则，，即.‎ 因为，‎ 所以直线的垂直平分线的方程为，‎ 令解得，，‎ 当时，因为，所以；‎ 当时，因为，所以.‎ 综上得点纵坐标的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，求证：当时，.‎ ‎【答案】（1）若时，函数的单调递增区间为；若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，然后分类讨论，当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，单调递减区间为，；‎ ‎（2）求出的导函数 ，当时，在上单调递增，故而在存在唯一的零点，即，则当时，单调递减，当时，单调递增，从而可证得结论．‎ ‎【详解】（1）解：由函数，．‎ 得，．‎ 若时，，函数的单调递增区间为；‎ 若，时，，函数单调递增，‎ 若时，，函数单调递减，‎ 综上，若时，函数的单调递增区间为，‎ 若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；‎ ‎（2）证明：，．‎ 则 ．‎ 当时，在上单调递增，‎ 又（1），，‎ ‎（2），‎ 故而在存在唯一的零点，即．‎ 则当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 故而．‎ 又，，‎ ‎．‎ 函数的对称轴为，‎ 因为，所以，‎ 因为函数开口向下，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，考查了学生的运算能力．‎