高考数学复习 17-18版 第3章 第15课 基本不等式及其应用
第15课 基本不等式及其应用
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
基本不等式及其应用
√
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
(简记：和定积最大)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)
①a2＋b2>2ab；
②a＋b≥2；
③＋>；
④＋≥2.
④ [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误；对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误．
对于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]
3．若a，b都是正数，则的最小值为________．
9 [∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．]
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于________．
3 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2
＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.]
5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
利用基本不等式求最值
角度1 配凑法求最值
(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________.
【导学号：62172084】
(2)(2017·无锡模拟)若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．
(1)1 (2)4 [(1)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(2)由log2x＋log2y＝1得xy＝2.
∴＝＝(x－y)＋.
又x>y，∴x－y>0.
∴(x－y)＋≥2＝4，
当且仅当x－y＝，即x－y＝2时等号成立．
故的最小值为4.]
角度2 常数代换或消元法求最值
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．
(1)5 (2)－2 [(1)法一：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋＝5.
(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
法二：由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>.
∴3x＋4y＝＋4y
＝＋4y
＝＋·＋4≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，
∴(3x＋4y)min＝5.
(2)∵a＋b＝2，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＋
≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]
角度3 不等式的综合应用
(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
(2)设f(x)＝ln x,0
p; ④p＝r>q.
(1)1 (2)② [＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1.
(2)因为b>a>0，故>.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ＝p，∴p＝r0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9. 【导学号：62172085】
[证明] (1)＋＋＝2.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二：＝1＋＋＋，
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[变式训练1] 设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
[证明] 由于a，b均为正实数，
所以＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号.
基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解] (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈.
(或y＝＋x，x∈)．
(2)y＝＋x≥26 ，
当且仅当＝x，
即x＝18，等号成立．
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[变式训练2] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解] (1)由题意得，
y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N＋)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
[思想与方法]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
2．基本不等式的两个变形：
(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
[易错与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”
三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
课时分层训练(十五)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．下列命题中正确的是________．(填序号)
①y＝x＋的最小值是2；
②y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；
③y＝sin2x＋的最小值是4；
④y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4.
② [①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.
②正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4.
当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．
③不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.
④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，
∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4.
当且仅当－3x＝－，即x＝－时等号成立．]
2．关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋
的最小值是________．
[依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，故x1＋x2＋的最小值为.]
3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________. 【导学号：62172086】
16 [因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.]
4．(2017·盐城模拟)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，则＋的最小值是________．
＋ [由2x＋y＝2得x＋＝1.
∴＋＝＝1＋＋＋
＝＋＋≥＋2＝＋.]
5．要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．
160元 [由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m．又设总造价是y元，则
y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.
当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]
6．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，若＋(m＞0)的最小值为3，则m的值为________．
4 [由2x－3＝y得x＋y＝3，则
＋＝(x＋y)·
＝≥(1＋m＋2)，
∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4.]
7．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
2 [由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.]
8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________.
【导学号：62172087】
3 [由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]
9．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________．
2 [由题意可得：点A的坐标为(2,1)，所以2m＋n＝1，所以4m＋2n＝22m＋2n≥2＝2＝2.]
10．(2017·苏州期末)已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________. 【导学号：62172088】
4＋ [∵ab＝，∴b＝.
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝＋＋2
＝＋＋2
＝＋2
＝＋2
≥(3＋2)＋2＝4＋.
当且仅当a＝时，取“＝”．]
二、解答题
11．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵00，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·扬州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
3 [由2logab＋3logba＝7得logab＝或logab＝3(舍去)，
∴a＝b2，
∴a＋＝b2＋＝(b2－1)＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当b2－1＝，即b＝，a＝2时等号成立．]
2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
[因为xy＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．
4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且
R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解] (1)当040，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以，W＝
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.
综合①②知，当产量为32万只时，W取最大值为6 104美元．
