数学理卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次周考（12

数学理卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次周考（12

‎ ‎ 数学（理）试题（12.9）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，，则的元素个数是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．无数个 ‎2.设复数其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎ ‎4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.外接圆圆心，半径为1，且，则向量在向量 方向的投影为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（ ）‎ A．18 B．21 C. 15 D．24‎ ‎8.定义为个正数的“均倒数”，已知各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.三棱锥中，已知，点是的重心，且 ‎，则的最小值为（ ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎12.已知函数，若方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.以下四个命题，正确的是 ．‎ ‎①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数”，则不是三角函数；②命题“存在，”的否定是“对于任意，”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④若函数在上有零点，则一定有.‎ ‎14.在中，，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎15.在直角梯形，，，，，分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知三棱锥，三点均在球心为的球表面上，，，三棱锥的体积为，则球的表面积是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，的面积为，求边上的中线长.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知各项均为正数的数列满足：，，设，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：;‎ ‎（3）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围，使时，都有.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 四棱锥中，点在平面内的射影在棱上，，底面是梯形，，，且，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线与所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为.‎ ‎（1）若为等边三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若椭圆的短轴为2，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.‎ ‎（1）求半圆的普通方程；‎ ‎（2）设动点在半圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，求点的直角坐标.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若的最小值为2，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.③ 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）由条件知，即，解得或（舍去），又，.‎ 由①②知，，，由余弦定理得，，边上的中线.‎ ‎18.（1），，则 ‎，当时，也适合，.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎（3），，对恒成立.‎ 即，即，‎ 即，，即，对恒成立，‎ 当为偶数时，对恒成立，，，‎ 当为奇数时，对恒成立，，，‎ 又已知，且，范围是.‎ ‎19.（1），，，‎ ‎，，，‎ ‎，又，‎ ‎.‎ ‎（2）以为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ ‎，，‎ 则，，，设，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，与所成角为，‎ ‎，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，设平面的法向量为，‎ 由，得平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，由，得平面的一个法向量为，‎ ‎，二面角的平面角为钝角，‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）为等边三角形，则；‎ ‎（2）容易求得椭圆的方程为，当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得 ‎，设，，则，，，，，，即 ‎，解得 ‎，即，故直线的方程为或.‎ ‎21.（1）当时，，.的定义域为，由，得，在区间上的最值只可能在取到，而，，，，.‎ ‎（2），，①当，即时，，在单调递减；②当时，，在单调递增；③当时，由得，或（舍），在递增，在上递减；；综上，当时，在递增；当时，在递增，在上递减.当时，在递减.‎ ‎（3）由（2）知，当时，，即原不等式等价于，即，整理得，‎ ‎，又，的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）由互化公式，，且得，半圆 的普通方程：.‎ ‎（2）设，由中点坐标公式得曲线的普通方程为，与直线联立，所以点或.‎ ‎23.解：（1），在是减函数，在是增函数，当时，取最小值.‎ ‎（2）由（1）知，的最小值为，.‎ ‎，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2.‎