2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数是纯虚数(是虚数单位)，则实数等于 (　　)‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数乘法的运算法则，计算出的结果，然后让实部等于零，虚部不为零，即可求出实数的值 ‎【详解】‎ ‎ ，由题意可知，复数是纯虚数，‎ ‎，故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的判断。‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的方程，求出的值，代入双曲线的渐近线方程中，即可求出双曲线的渐近线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎ ，所以双曲线的渐近线方程为，‎ 故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求双曲线的渐近线方程。要注意双曲线的焦点的位置。‎ ‎3．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当 时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 (　　)‎ A．当时该命题不成立 B．当时该命题成立 C．当时该命题不成立 D．当时该命题成立 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题是等价命题，进行判断。‎ ‎【详解】‎ 命题“如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立。”的逆否命题是“如果当时命题不成立，那么可推出当时命题也不成立。”，所以当时该命题不成立，那么可推得当时该命题不成立，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了原命题与逆否命题的等价性、推理论证能力。‎ ‎4．经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况。‎ ‎【详解】‎ 显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；‎ 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，‎ ‎，得到 直线与椭圆相切，故，即 解得所以切线方程为，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的切线方程。其实本题可以类比圆的切线方程得出，过圆 上一点的切线方程为，椭圆也有类似性质：过椭圆 上一点的切线方程为。‎ ‎5．方程所表示的曲线是 ( )‎ A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎：∵-1≤sinθ≤1， ∴2≤2sinθ+4≤6，-4≤sinθ-3≤-2，方程（θ∈R）所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线， 故选C．‎ ‎6．设函数f（x）=+lnx 则 （ ）‎ A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D．‎ 考点：函数的极值．‎ ‎7．设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于 (　 )‎ A．4 B．6 C．6 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设准线l 与轴交于点，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，这两个条件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的长。‎ ‎【详解】‎ 设准线l 与轴交于点，所以，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，，在中，，‎ ‎，所以|PF|等于6,故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义。‎ ‎8．有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是( )‎ A．960 B．720 C．480 D．240‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把丙, 丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲, 乙两人插空，由分步计算原理计算出结果。‎ ‎【详解】‎ 第一步，先把丙, 丁两人绑定，有种方法；‎ 第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空；‎ 第三步，把甲, 乙两人，插入5个空中，有种方法，‎ 由分步计算原理可知：有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分步计算原理、排列有关知识。本题涉及到绑定法、插空法。‎ ‎9．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此，不妨设是第一象限的点，椭圆的左焦点设为，‎ 把代入抛物线方程得，故，即，，由于是直角三角形，，整理得，即 解得，故答案为B.‎ 考点：1、抛物线的几何性质；2、椭圆的几何性质.‎ ‎10．从集合中任取三个不同的元素作为直线中的值，若直线倾斜角小于，且在轴上的截距小于，那么不同的直线条数有( )‎ A．109条 B．110条 C．111条 D．120条 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线倾斜角小于，且在轴上的截距小于，可以得到之间的关系，按照要求求出所有的排列数，但是在注意两条直线有可能重合。‎ ‎【详解】‎ ‎，在轴上的截距为，由题意可知：‎ ‎ ，共有种方法，考虑到直线之间的重合情况，‎ 当时，（3，2，1）与（6，4，2）、（9，6，3）重复二次；‎ ‎ （4，2，1）与（8，4，2）重复一次；‎ ‎ （5，2，1）与（10，4，2）重复一次；‎ ‎ （4，3，1）与（8，6，2）重复一次；‎ ‎ （5，3，1）与（10，6，2）重复一次；‎ ‎ （5，4，1）与（10，8，2）重复一次；共有7次。‎ 当时，（4，3，2）与（8，6，4）重复一次；‎ ‎ （5，3，2）与（10，6，4）重复一次； ‎ ‎ （5，4，2）与（10，8，4）重复一次；共有3次。‎ 当时，（5，4，3）与（10，8，6）重复一次，共有1次。‎ 所以不同的直线条数有120-7-3-1=109条，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合问题。要注意一些特殊情况。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．计算: ＝_________; =_________. (用数字作答)‎ ‎【答案】20 35 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接应用公式求解。‎ ‎【详解】‎ 第一空：=;‎ 第二个空：=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列数、组合数的计算公式。‎ ‎12．与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是__________, 其离心率是__________.‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一个空：设出与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程，把的坐标代入方程中，求出参数；‎ 第二个空：根据第一空得出的双曲线方程，可求出离心率。‎ ‎【详解】‎ 第一个空：由题意可知，设双曲线方程是，点经过双曲线 所以有，双曲线方程是；‎ 第二个空：离心率。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求双曲线方程及离心率。‎ ‎13．函数的增区间是____________, 曲线在点处的切线方程是__________.‎ ‎【答案】（开区间也对） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一个空：先求函数的定义域，然后求导，求出当导函数不小于零时，的取值范围；‎ 第二个空：把代入导函数中，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程。‎ ‎【详解】‎ 第一个空：函数,，，显然当时，有，所以函数的增区间是（开区间也对）；‎ 第二个空：，所以曲线在点处的切线方程是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的切线方程以及单调区间的问题。‎ ‎14．用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成______个无重复数字的三位数, 也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数.‎ ‎【答案】100 216 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一个空：先确定三位数的最高数位上的数，再确定另外两个数位上的数；‎ 第二个空：先确定五位数个位上的数字，然后分类讨论，其他数位上的数。‎ ‎【详解】‎ 第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有种方法；‎ 第二步，确定另外二个数位上的数，有种方法，‎ 所以可以组成个无重复数字的三位数；‎ 第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况：‎ 当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个；‎ 当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数，‎ 根据分类计算原理共有个数。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类计数原理、分步计数原理。‎ ‎15．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长。‎ ‎【详解】‎ 抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，‎ 所以弦长。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式。‎ ‎16．双曲线与直线交于两点, 且线段中点为,为坐标原点,则直线的斜率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系，可以求出直线的斜率。‎ ‎【详解】‎ 双曲线与直线联立，得，消去得，‎ 设，则有 ，‎ 所以的坐标为因此，直线的斜率是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与双曲线的位置关系及斜率公式。‎ ‎17．已知P是椭圆 和双曲线 的一个共公点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用椭圆和双曲线的定义，求出的值，利用余弦定理得出等式，利用三角代换求出的最大值。‎ ‎【详解】‎ 设，由椭圆的定义可知：（1），‎ 由双曲线的定义可知：（2），‎ 得：，‎ 得：，‎ 由余弦定理可知： ，‎ 设 所以，‎ 当 时，的最大值是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆、双曲线的定义。重点考查了三角代换、余弦定理、辅助角公式。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．已知函数.‎ ‎(I) 求的减区间;‎ ‎(II)当时, 求的值域.‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，的取值范围即可。‎ ‎(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当时，函数的单调性，然后求出最值。‎ ‎【详解】‎ 解: (I) 由函数, 求导 ‎ 当, 解得 即的减区间 ‎ ‎(II) 当, 解得 即在上递减, 在上递增 ‎ 故的值域 ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题。‎ ‎19．已知椭圆经过两点, .‎ ‎(I)求椭圆E的方程；‎ ‎(II)若直线交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积S．‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，而后求出椭圆的方程；‎ ‎(II)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用S＝|OP||y1－y2| 进行求解。‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由题意得: , 解得: ‎ 即轨迹E的方程为＋y2＝1. ‎ ‎(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 故可设AB的方程为x＝y＋1.‎ 由消去x得5y2＋2y－3＝0， ‎ 所以 ‎ 设直线与轴交于点 S＝|OP||y1－y2| ‎ S＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系。‎ ‎20．已知函数（e为自然对数的底数）‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的最小值为1；（2）实数的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先对求导，得出函数的单调区间，即可求出函数的最小值为1；‎ ‎（2）不等式恒成立，变形为，构造新函数；求得的最小值，‎ 从而实数的取值范围是． ‎ 试题解析：（1）的导函数，令，解得；‎ 令，解得.‎ 从而在内单调递减，在内单调递增.‎ 所以，当时，取得最小值1. 6分 ‎（2）因为不等式的解集为，且，‎ 所以对于任意，不等式恒成立.‎ 由，得.‎ 当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.‎ 将变形为.‎ 令，则的导函数，‎ 令，解得；令，解得.‎ 从而在内单调递减，在内单调递增.‎ 所以，当时，取得最小值，‎ 从而实数的取值范围是. 13分 考点：导函数的综合应用、函数与方程思想.‎ ‎21．已知点是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限内的点，且，‎ ‎(I) 求点的坐标；‎ ‎(II)以为圆心的动圆与轴分别交于两点，延长分别交抛物线于两点；‎ ‎①求直线的斜率；‎ ‎②延长交轴于点，若，求的值.‎ ‎【答案】(I) (II)①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由抛物线的定义，可求出点的横坐标，代入方程中，求出点的纵坐标；‎ ‎(II) ①设直线SA的斜率为k，可设出SA直线方程，与抛物线方程联立，求出点M的坐标，由题意可知：SA=SB，因此可求出直线SB的斜率，可设出直线SB的方程，同理，可以求出N点的坐标，代入斜率公式，求出直线的斜率；‎ ‎②设出E点坐标，由，可得到，从而求出斜率k，求出A点坐标，同理求出B点坐标，利用余弦定理求出的值，也就求出的值。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ ‎(I)设，抛物线的焦点为，准线方程为由抛物线的定义可知 ‎，所以点的坐标为（1，1）；‎ ‎(II) ①设直线SA的直线方程为：与抛物线方程联立：‎ ‎，设，，‎ 所以，因为以为圆心的动圆与轴分别交于两点，所以SA=SB,因此直线SB的斜率为-k,同理可求出,；‎ ‎②设， ,‎ ‎，‎ 则直线SA的方程为，A点坐标为，同理B点坐标为，,‎ ‎，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系以及余弦定理。‎ ‎22．已知函数. ‎ ‎(I) 求极大值；‎ ‎(II) 求证：，其中, ．‎ ‎(III)若方程有两个不同的零点, 求证: ‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值是(II)见解析(III)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数进行求导，让导函数为零，求出根，列表，判断极值情况，最后求出极大值；‎ ‎(II) 法一：根据（Ⅰ）可以得到函数的最大值，结合求证的式子左右两边形式，能得到一个不等式， 然后累和，命题得证；‎ 法二：有关正整数的命题，可以采用数学归纳法来证明。‎ ‎(III)由（Ⅰ）可知，方程有两个不同的零点,能得到 用分析法证明时，需要构造一个新函数，利用新函数的单调性，证明分析法需要证明的不等式成立。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）, 解得 递增 极大值 ‎ 递减 极大值是 ‎(II) 法一：，‎ 由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，‎ 则，即，当且仅当时取“=”， ‎ 故当时，， ‎ 因此． ‎ 法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立．‎ ‎（1）当时，左边，右边，‎ 左边右边，结论成立；‎ ‎（2）假设当时，结论成立，即，‎ 当时，左边 ‎，‎ 而 ，‎ ‎，‎ 由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，‎ 则，即，当且仅当时取“=”， ‎ 则对恒成立，即 成立 故当时，结论成立，‎ 因此，综合（1）（2）得，对恒成立 ‎（III） 由（Ⅰ）知方程有两个不同的零点,‎ 则 ‎ 分析法: 要证 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令函数, ‎ 由得 在上递增, ‎ 即成立, 由上知成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用导数研究函数极值、证明有关正整数命题恒成立问题以及函数零点之间关系。‎