四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析

四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析

乐山市 2018-2019 学年高二下学期期末教学质量检测 数学（理科）试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.老师在班级 50 名学生中，依次抽取学号为 5，10，15，20，25，30，35，40，45，50 的学 生进行作业检查，这种抽样方法是（　　） A. 随机抽样 B. 分层抽样 C. 系统抽样 D. 以上都是 【答案】C 【解析】 【分析】 对 50 名学生进行编号，分成 10 组，组距为 5，第一组选 5，其它依次加 5，得到样本编号. 【详解】对 50 名学生进行编号，分成 10 组，组距为 5，第一组选 5， 从第二组开始依次加 5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于 系统抽样. 【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解. 2.在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ，若 为线段 的中点，则点 对应的复数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用中点坐标公式，求得点 的中点 ，再由复平面内点与复数的对应关系，得到点 C 对应的复数. 【详解】由题意得： ，由中点坐标公式得：点 ，其对应的复数 . 【点睛】本题考查复平面内点与复数 的对应关系，考查对复数相关概念的理解. 3.从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 6 5i+ 2 3i− + ,A B C AB C 8 2i+ 4 8i+ 4 i+ 2 4i+ ,A B (2,4)C (6,5), ( 2,3)A B − (2,4)C 2 4z i= + z 【答案】C 【解析】 【分析】 由于选出的 3 名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是 1 男 2 女，一类是 2 男 1 女. 【详解】由于选出的 3 名学生男女生都有，所以可分成两类： （1）3 人中是 1 男 2 女，共有 ； （2）3 人中 2 男 1 女，共有 ； 所以男女生都有的选法种数是 . 【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题. 4.设 为虚数单位，则 的展开式中含 的项为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二项展开式 ，当 时，对应项即为含 的项. 【详解】因为 ， 当 时， . 【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意 ，防止出现符号错误. 5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有 36 种基本事件，点数之和为 5 的事件有 （1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为 ，选 B。 是 1 2 4 3 4 3 12C C = × = 2 1 4 3 6 3 18C C = × = 12 18 30+ = i ( )6x i− 4x 415x− 415x 420ix− 420ix 6 1 6 ( ) ( 0,1, ,6)r r r rT C x i r− + = − =  2r = 4x 6 1 6 ( ) ( 0,1, ,6)r r r rT C x i r− + = − =  2r = 2 4 2 2 4 4 3 6 6( ) 15T C x i C x x= − = − = − 2 1i = − 1 18 1 9 1 6 1 12 考点：概率问题 6.曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导，令 ，故 或 ，经检验可得 点的坐标. 【详解】因 ，令 ，故 或 ，所以 或 ，经检验，点 ， 均不在直线 上，故选 C． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数 即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题． 7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添 一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表 达如图所示，即最终输出的 ，则一开始输入的 x 的值为（　　） ( ) 3 3f x x x= − + P 2 1y x= − P ( )1,3 ( )1,3− ( )1,3 ( )1,3− ( )1, 3− ( )' 2f x = 23 1 2 1x x− = ⇒ = 1− P ( ) 2' 3 1f x x= − ( )' 2f x = 23 1 2 1x x− = ⇒ = 1− ( )1,3P ( )1,3− ( )1,3 ( )1,3− 2 1y x= − 0x = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图，当输入的数为 ，则输出的数为 ，令 可得输入的数为 . 【详解】 ， ， ， ， 当 时，解得： . 【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案. 8.已知 的分布列为 -1 0 1 设 ，则 的值为（　　） A. 4 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 由 的分布列，求出 ，再由 ，求得 . 3 4 7 8 15 16 31 32 x 16 15x − 16 15 0x − = 15 16 1, 2 1i x x= = − 2, 2 (2 1) 1 4 3i x x x= = ⋅ − − = − 3, 2 (4 3) 1 8 7i x x x= = ⋅ − − = − 4, 2 (8 7) 1 16 15i x x x= = ⋅ − − = − 16 15 0x − = 15 16x = ξ ξ p 1 2 1 3 1 6 2 3η ξ= + ( )E η 7 3 5 4 ξ 1( ) 3E ξ = − ( ) 2 ( ) 3E Eη ξ= + 7( ) 3E η = 【详解】 ， 因为 ，所以 . 【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量 ，具有线性关系，直接 利用公式 能使运算更简洁. 9.在区间 上任取两个实数 a，b，则函数 无零点的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在区间 上任取两个实数 a，b，其对应的数对 构成的区域为正方形 ，所求事 件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率. 【详解】因为函数 无零点，所以 ， 因为 ，所以 ， 则事件函数 无零点构成的区域为梯形 ， 在区间 上任取两个实数 a，b 所对应的点 构成的区域为正方形 ， 所以函数 无零点的概率 . 1 1 1 1 1 1( ) ( 1) 0 12 3 6 2 6 3E ξ = − × + × + × = − + = − 2 3η ξ= + 1 7( ) 2 ( ) 3 2 ( ) 33 3E Eη ξ= + = × − + = a bη ξ= + ( ) ( )E aE bη ξ= + [ ]0,1 ( ) 2 2f x x ax b= + + 1 2 1 4 2 3 3 4 [ ]0,1 ( , )a b ODBC ( ) 2 2f x x ax b= + + 2 24 0a b− < 0 1,0 1a b≤ ≤ ≤ ≤ 2 24 0 2 aa b b− < ⇔ > ( ) 2 2f x x ax b= + + OABC [ ]0,1 ( , )a b ODBC ( ) 2 2f x x ax b= + + OABC ODBC 3 4 SP S = =梯形 正方形 【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区 域和事件所含基本事件构成的区域. 10.根据如下样本数据得到的回归方程为 ，则 3 4 5 6 7 8 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由表格数据 的变化情况可知回归直线斜率为负数 ，中心点为 ，代入回归方程可知 考点：回归方程 11.若函数 在区间 上单调递减，则实数 t 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数 在区间 上单调递减，得到不等式 在 恒成立，再根据二次函 数根的分布，求实数 t 的取值范围. ˆy bx a= + 4.0 2.5 0.5− 0.5 2.0− 3.0− 0a > 0a > 0a < 0a < ,x y 0b∴ < ( )5.5,0.25 0a > ( ) 3 2 3f x x tx x= − + [ ]1,4 51[ , )8 +∞ ( ],3−∞ 51, 8  −∞   [ )3,+∞ ( )f x [ ]1,4 ' ( ) 0f x ≤ [ ]1,4x∈ 【详解】因为函数 在区间 上单调递减， 所以 在 恒成立， 所以 即 解得： . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考 查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转 化成只要研究两个端点的函数值正负问题. 12.已知函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B 【解析】 函数 f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（ ﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令 f′（x）=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1， 函数 f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于 f′（x）=lnx﹣2ax+1 有两个零点， 等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当 a= 时，直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切， 由图可知，当 0＜a＜ 时，y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点． 则实数 a 的取值范围是（0， ）． 故选 B． ( ) 3 2 3f x x tx x= − + [ ]1,4 ' 2( ) 3 2 3 0f x x tx= − + ≤ [ ]1,4x∈ (1) 0, (4) 0, f f ′ ≤′ ≤   4 0, 51 8 0, t t − ≤  − ≤ 51 8t ≥ 二、填空题。 13.用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本，则个体 m 被抽到的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 总体含 100 个个体，从中抽取容量为 5 的样本，则每个个体被抽到的概率为 . 【详解】因为总体含 100 个个体， 所以从中抽取容量为 5 的样本，则每个个体被抽到的概率为 . 【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有 个个体，从中抽取 个个体做为样本， 则每个个体被抽到的概率均为 . 14.已知复数 z 满足 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 求出复数 ，代入模的计算公式得 . 1 20 5 100 5 1 100 20 = N n n N ( )1 2 4 3i z i+ = + z = 5 2z i= − | z | 5= 【详解】由 ， 所以 . 【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题. 15.如图，正方体 的棱长为 1， 分别为线段 上的点，则三棱 锥 的体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】则 ,因为 平面 ， 所以 所在位置均使该三棱锥的高为 ；而不论 在 上的那一个位置， 均为 ，所以 【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换 是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度. 16.若曲线 与曲线 在 上存在公共点，则 的取值范围为 【答案】 【解析】 试题分析：根据题意，函数与函数在 上有公共点，令 得： ( ) 4 31 2 4 3 21 2 ii z i z ii ++ = + ⇒ = = −+ 2 2| | 2 1 5z = + = 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1,AA B C 1D EDF− 1 6 1 1D EDF F EDDV V− −= 1 / /B C 1EDD F 1 E 1AA 1EDDS 1 2 1 1 1 1 11 .3 2 6D EDF F EDDV V− −= = × × = 2 1 :C y ax= ( 0)a > 2 : xC y e= ( )0 +，∞ a 2 ,4 e +∞  ( )0 +，∞ 2 xax e= 2 xea x = 设 则 由 得： 当 时， ，函数 在区间 上是减函数， 当 时， ，函数 在区间 上是增函数， 所以当 时，函数 在 上有最小值 所以 ． 考点：求参数 取值范围． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.已知函数 （1）若函数 的导函数为偶函数，求 的值； （2）若曲线 存在两条垂直于 轴的切线，求 的取值范围 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出函数 的导数 ，由于二次函数 为偶函 数，所以一次项系数为 ，进而求得 a 的值； （2）由题意得 存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于 . 【详解】（1）∵ ， 由题因为 为偶函数，∴ ，即 （2）∵曲线 存在两条垂直于 轴 切线， 的 的 ( ) 2 xef x x = ( ) 2 2 2x xx e xef x x −′ = ( ) 0f x′ = 2x = 0 2x< < ( ) 0f x′ < ( ) 2 xef x x = ( )0,2 2x > ( ) 0f x′ > ( ) 2 xef x x = ( )2,+∞ 2x = ( ) 2 xef x x = ( )0 +，∞ ( ) 2 2 4 ef = 2 4 ea ≥ ( ) ( ) ( )3 21 2f x x a x a a x b= + − − + + ( ),a b R∈ ( )f x a ( )y f x= y a 1a = 1 1, ,2 2    −∞ − − +∞       ( )f x ( ) ( ) ( )23 2 1 2f x x a x a a′ = + − − + ' ( )f x 0 ( ) 0f x′ = 0 ( ) ( ) ( )23 2 1 2f x x a x a a′ = + − − + ( )f x′ ( )2 1 0a− = 1a = ( )y f x= y ∴关于 的方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，即 ，∴ . ∴a 的取值范围为 . 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑 推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线 存在两条垂直于 轴的切线转化成方程 有两根. 18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前 7 次 考试的数学成绩 、物理成绩 进行分析．下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； （2）已知该生的物理成绩 与数学成绩 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请 你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学 习数学、物理上的合理建议． 参考公式：方差公式： ，其中 为样本平均数. ， 。 【答案】（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130 分，建议：进一步加强对数学的学习， 提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 【解析】 【分析】 （1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差； （2）利用最小二乘法，求出 关于 的回归方程，再用 代入回归方程，求得 x ( ) ( ) ( )23 2 1 2f x x a x a a′ = + − − + ( ) ( )24 1 12 2 0a a a∆ = − + + > 24 4 1 0a a+ + > 1 2a ≠ − 1 1, ,2 2    −∞ − − +∞       ( )y f x= y x y y x ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 nS x x x x x xn  = − + − + −  x ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx = = = = − − − ⋅ = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − y x 115y = . 【详解】（1） ， ， ∴ ，∴ ，从而 ， ∴物理成绩更稳定. （2）由于 与 之间具有线性相关关系， 根据回归系数公式得到 ， ， ∴线性回归方程为 ， 当 时， . 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 【点睛】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计 算要细心，防止计算出错. 19.已知函数， （1）求 在区间 上的极小值和极大值； （2）求 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值． 【答案】（1）极小值为 ，极大值为 .（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）对三次函数 进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值； （2）由（1）知函数 的性质，再对 进行分类讨论，求 在 的性质，比较两段的最大值，进而得到函数 的最大值. 【详解】（1）当 时， ，令 ，解得 或 .当 x 变化 时， ， 的变化情况如下表： 130x = 12 17 17 8 8 12100 1007x − − + − + += + = 6 9 8 4 4 1 6100 1007y − − + − + + += + = 2 994 1427S = =数学 2 250 7S =物理 2 2S S>数学 物理 x y 497ˆ 0.5994b = = ˆ 100 0.5 100 50a = − × = ˆ 0.5 50y x= + 115y = 130x = ( ) 3 2 , 1, ln , 1. x x xf x a x x − + <=  ≥ ( )f x ( ),1−∞ ( )f x [ ]1,e− e 0 4 27 3 2( )f x x x= - + 3 2( )f x x x= - + a ( ) lnf x a x= 1x ≥ ( )f x 1x < ( ) 23 2f x x x′ = − + ( ) 0f x′ = 0x = 2 3x = ( )f x′ ( )f x x 0 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 故当 时，函数 取得极小值为 ， 当 时，函数 取值极大值为 . （2）①当 时，由（1）知， 函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ， ， ， 所以 在 上的值大值为 2. ②当 时， ， 当 时， ； 当 时， 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 . 故当 时， 在 上最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 2. 【点睛】本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数 极值，考查分类讨论 思想的应用. 20.如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，以 为折痕将 向上折起， 变为 ，且平面 平面 ． 的 ( ),0−∞ 20, 3      2 3 2 ,13      ( )f x′ ( )f x 0x = ( )f x ( )0 0f = 2 3x = ( )f x 2 4 3 27f   =   1 1x− ≤ < ( )f x [ ]1,0− 2 ,13     20, 3      ( )1 2f − = 2 4 3 27f   =   ( )0 0f = ( )f x [ )1,1− 1 x e≤ ≤ ( ) lnf x a x= 0a ≤ ( ) 0f x ≤ 0a > ( )f x [ ]1,e ( )f x [ ]1,e ( )f e a= 2a ≥ ( )f x [ ]1,e− a 2a < ( )f x [ ]1,e− ABCD 4AB = 2AD = E CD AE DAE∆ D D¢ D AE′ ⊥ ABCE （1）求证： ； （2）求二面角 的大小． 【答案】（1）见证明；（2）90° 【解析】 【分析】 （1）利用 垂直于 所在的平面 ，从而证得 ； （2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个 面的法向量 ， ，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面 角的大小. 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ . （2）如图建立空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 ， 从而 ， ， . 设 为平面 的法向量， AD EB′ ⊥ A BD E− ′− EB 'AD AD E′ AD EB′ ⊥ ( )1 0, 2,1n = ( )2 1,1, 2n = − 2 2AE BE= = 4AB = 2 2 2AB AE BE= + AE EB⊥ D AE ABCE′ ⊥平面 平面 D AE ABCE AE′ ∩ =平面 平面 EB ABCE⊂ 平面 EB AD E′⊥ 平面 AD AD E′ ′⊂ 平面 AD EB′ ⊥ ( )4,2,0A ( )0,0,0C ( )0,2,0B ( )3,1, 2D′ ( )2,0,0E ( )4,0,0BA = ( )3, 1, 2BD′ = − ( )2, 2,0BE = − ( )1 1 1 1, ,n x y z= ABD′ 则 令 ，所以 ， 设 为平面 的法向量， 则 ，令 ，所以 ， 因此， ，有 ， 即 ，故二面角 的大小为 . 【点睛】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据 题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键. 21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为 ，其范围为 ，分为五个级别， 畅通； 基本畅通； 轻度 拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵.早高峰时段（ ），从某市交通指挥中心 随机选取了三环以内的 50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图. （1）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？ （2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （3）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 36 分钟， 中度拥堵为 42 分钟，严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望. 【答案】（1）18（2）39 96 【解析】 试题分析：（1）频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率，由此可以得出中度拥堵的概率， 继而得出这 50 个路段中中度拥挤的有多少个； 记事件 为一个路段严重拥堵，其概率 ，则 ， . 1 1 1 1 1 1 4 0, 3 2 0, n BA x n BD x y z  ⋅ = = ⋅ = −′ + =     1 1 10, 2, 1x y z= = = ( )1 0, 2,1n = ( )2 2 2 2, ,n x y z= 'BD E 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 3 2 0, n BE x y n BD x y z  ⋅ = − = ⋅ = − + = ′     2 2 11, 1, 2x y z= = = ( )2 1,1, 2n = − 1 2 0n n⋅ =  1 2n n⊥  ABD BD E′ ′⊥平面 平面 A BD E− ′− 90 T [0,10] [0,2)T ∈ [2,4)T ∈ [4,6)T ∈ [6,8)T ∈ [8,10]T ∈ 3T ≥ A ( ) 0.1 1 0.1P A = × = ( ) 1 0.1P A = − 所以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为 ； （3）根据频率分布直方图列出分布列，即可求得数学期望. 试题解析： （1） ，这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. （2）设事件 “一个路段严重拥堵”，则 ， 事件 三个都未出现路段严重拥堵，则 所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 . （3）由频率分布直方图可得：分布列如下表： 30 36 42 60 0.1 0.44 0.36 0.1 . 此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟. 22.已知函数 （ 为自然对数的底数）. （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值. 【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为 1. 【解析】 【分析】 （1）根据 的不同范围，判断导函数的符号，从而得到 的单调性；（2）方法一：构造 新函数 ，通过讨论 的范围，判断 单调性，从而确定结果；方法 二：利用分离变量法，把问题变为 ，求解函数最小值得到结果. 【详解】（1） ( )3 1- ( )P A ( )0.2 0.16 1 50 18+ × × = A ( ) 0.1 1 0.1P A = × = B ( )3 3( ) ( ) (1 0.1) 0.729P B P A= = − = 1 ( ) 1 0.729 0.271P B− = − = X P ( ) 30 0.1 36 0.44 42 0.36 60 0.1 39.96E X = × + × + × + × = ( ) ( 1) ( 0, )xf x ax e x a R= − > ∈ e ( )f x 1a = ( ) 2f x kx> − k k a ( )f x ( ) ( ) 2g x f x kx= − + k ( )f x ( )mink h x< ( ) ( ) ( )1 , 0,xf x ax e x a R= − > ∈ ( ) ( )1 xf x ax a e ⇒ = − − ′ 当 时， 在 上递增； 当 时，令 ，解得： 在 上递减，在 上递增； 当 时， 在 上递减 （2）由题意得： 即 对于 恒成立 方法一、令 ，则 当 时， 在 上递增，且 ，符合题意； 当 时， 时， 单调递增 则存在 ，使得 ，且 在 上递减，在 上递增 由 得： 又 整数 的最大值为 另一方面， 时， ， ， 时成立 方法二、原不等式等价于： 恒成立 1a ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x⇒ ( )0, ∞+ 0 1a< < ( ) 0f x′ = 1 ax a −= ( )f x⇒ 10, a a −     1 ,a a − +∞   0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x⇒ ( )0, ∞+ ( ) ( )1 xf x x e= − ( )1 2xx e kx− > − 0x > ( ) ( ) ( )1 2 0xg x x e kx x= − − + ≥ ( ) ( )0xg x xe k x= − ≥′ 0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x⇒ ( )0, ∞+ ( )0 1 0g = > 0k > ( ) ( )1 xg x x e′ = +′ 0x⇒ ≥ ( )g x′ 0 0x > ( ) 0 0 0 0xg x x e k′ = − = ( )g x ( ]00, x [ )0 ,x +∞ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0min 1 2 0xg x g x x e kx⇒ = = − − + > 0 0 0 1 2 0x k kxx −∴ ⋅ − + > 0 0 2 1 1 k x x ⇒ <  + −    0 0 1 2x x + ≥ 0 2k< < k Z∈ ⇒ k 1 1k = 1 1 02 2 eg   = − <   ′ ( )1 1 0g e −′ = > 0 1 ,12x  ∴ ∈   ( ) 0 0 2 1,2 1 1x x ∈ + −    1k∴ = ( ) ( )1 2 0 xx ek xx − +< > 令 令 ，则 在 上递增，又 ， 存在 ，使得 且 在 上递减，在 上递增 又 ， 又 ，整数 的最大值为 【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立 问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用 分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果. ( ) ( ) ( )1 2 0 xx eh x xx − += > ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 xx x e h x xx + − ⇒ ′ − = > ( ) ( ) ( )2 1 2 0xt x x x e x= − + − > ( ) ( )1 0xt x x x e′ = + > ( )t x∴ ( )0, ∞+ ( )1 0t > 1 3 2 02 4t e  = − <   ∴ 0 1 ,12x  ∈   ( ) ( ) ( )2 0 0 0 0 1 2 0xh x t x x x e= = − + − =′ ( )h x ( ]00, x [ )0 ,x +∞ ( ) ( )0min 0 0 2 1 1 h x h x x x ∴ = = + − 0 1 ,12x  ∈   0 0 1 31 1, 2x x  ⇒ + − ∈   ( )0 4 ,23h x  ∴ ∈   2k∴ < k Z∈ k 1