2020年高中数学第六章合情推理与演绎推理的关系

2020年高中数学第六章合情推理与演绎推理的关系

‎6.1.3　‎演绎推理 ‎6．1.4　合情推理与演绎推理的关系 一、基础达标 ‎1．下列表述正确的是 ‎(　　)‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理；‎ ‎②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤‎ 答案　D 解析　根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．‎ ‎2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是 ‎(　　)‎ A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 答案　C 解析　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．‎ ‎3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理 ‎(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 答案　C 解析　由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．‎ ‎4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是 ‎(　　)‎ A．正方形都是对角线相等的四边形 4‎ B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案　B 解析　利用三段论分析：‎ 大前提：矩形都是对角线相等的四边形；‎ 小前提：四边形ABCD是矩形；‎ 结论：四边形ABCD的对角线相等．‎ ‎5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．‎ 答案　③‎ 解析　在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．‎ ‎6．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．‎ 答案　y＝的定义域是[4，＋∞)‎ 解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.‎ ‎7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.‎ 证明　因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．‎ 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．‎ 二、能力提升 ‎8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是 ‎(　　)‎ A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 答案　C 解析　由三段论推理概念知推理正确．‎ ‎9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：‎ ‎①若m∥n，n⊂α，则m∥α；‎ ‎②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；‎ ‎③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ 4‎ ‎④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.‎ 其中正确的命题个数是 ‎(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.‎ ‎10．已知函数f(x)满足：f(1)＝，‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.‎ 答案　 解析　令y＝1得‎4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)‎ 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)‎ ‎①‎ 令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)‎ ‎②‎ 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，‎ 即f(x－1)＝－f(x＋2)，‎ ‎∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)‎ ‎∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6，‎ ‎∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)‎ 对‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 ‎4f‎(1)f(0)＝‎2f(1)，‎ ‎∴f(0)＝，即f(2 010)＝.‎ ‎11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．‎ 证明　大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．‎ 小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．‎ 结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．‎ ‎12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.‎ 证明　如图，作AE⊥SB于E.‎ ‎∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE⊂平面SAB.‎ 4‎ ‎∴AE⊥平面SBC，‎ 又BC⊂平面SBC.‎ ‎∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，‎ ‎∴SA⊥BC.‎ ‎∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，‎ ‎∴BC⊥平面SAB.‎ ‎∵AB⊂平面SAB.∴AB⊥BC.‎ 三、探究与创新 ‎13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0且a≠1)‎ ‎(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；‎ ‎(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．‎ 解　(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝＋＝，‎ 又g(5)＝因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．‎ ‎(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝‎ f(3)g(2)＋g(3)f(2)，‎ 于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．‎ 证明　因f(x)＝，g(x)＝(大前提)，‎ 所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝，(小前提及结论)‎ 所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝＋＝＝‎ g(x＋y)．‎ 4‎