2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（理） word版

2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（理） word版

山西大学附中 2019～2020 学年高二第一学期 12 月模块诊断（理） 数 学 试 题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 2．椭圆 的长轴长为( ) A．4 B．5 C．10 D．8 3.直线 与 平行，则 的值为（ ） A．1 B． 或 0 C． D．0 4．两圆 ， ，则两圆公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在等腰三角形 中， ，点 ，点 在 轴的负半 轴上，则直线 的方程为(　　) A． B. C． D． 7.已知椭圆 的焦点在 轴上，若椭圆的短轴长为 4，则 的取值范 围是（　　） A．（12，+∞） B．（4，12） C．（4，6） D．（6，+∞） 8．在同一平面直角坐标系中， 直线 和直线 有可能是(　　) 2 2 116 25 x y+ = a 1 2 1 2 2 2 1 : 16C x y+ = 2 2 2 : 2 2 7 0C x y x y+ + + − = z x y= + l 3 3 1 0x y+ − = l 2 2 0x ay+ − = ( 1) 3 0a x ay− − + = ,x y 3 3 1 0 x y x y y + ≤  − ≥  ≥ MON∆ | | | |MO MN= (0,0), ( 1,3)O M − N x MN 3 6 0x y− − = 3 6 0x y+ + = 3 6 0x y− + = 3 6 0x y+ − = 2 2 2 2 12 x y m n n m + =− − x n 1 : 0l ax y b+ + = 2 : 0l bx y a+ + = 9．直线 经过点 ，在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率 的取值范围 是(　　) A. 　 B. C． D． 10.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，若 的最大值为 5，则 的值为(　　) A．1 B． C． D． 11.已知圆 ： 和两点 ，若圆 上有且 只有一点 ，使得 ,则 的值为（ ） A．3 B．5 C．3 或 5 D．3 或 7 12.设 是椭圆 ： 的一个焦点， 是椭圆 上的点，圆 与线段 交于 两点，若 三等分线段 ，则椭圆 的离心率 为( 　) A. B. C. D. 二、填空题(本题有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 直线 与直线 的交点为 ，则 __ . 14.如图所示，一圆形纸片的圆心为 ， 是圆内一定点（不同于点 ）， 是圆周上 一动点，把纸片折叠使 与 重合，然后抹平纸片，折痕为 ，设 与 交于 点 ，则点 的轨迹是 15.在平面直角坐标系 中，以 点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标 准方程为 16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.” 诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处 出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系 中,设军营所在平面区域为 , 河岸线所在直线方程为 .假定将军从点 处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军 可以选择最短路程为 ____. 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 : 2 6 0l x by− − = 2 : 0l x y a+ + = ( )2,2 a b+ = l (1,2)A x ( 3,3)− k 1( 1, )5 − 1( 1, )2 − 1( , 1) ( , )5 −∞ − +∞ 1( , 1) ( , )2 −∞ − +∞ 2 2 1(0 2)4 x y bb + = < < 1 2,F F 1F ,A B 2 2| | | |BF AF+ b 2 3 3 3 C 2 2( 4) ( 3) 4x y− + − = (0, ), (0, )A a B a− ( 0)a > C P 90APB∠ = ° a F C P C 2 2 2 9 ax y+ = PF ,A B ,A B PF C 17 5 5 3 10 4 3 3 O F O M M F CD CD OM P P xOy (1,0) 2 1 0( )mx y m m R− − − = ∈ xOy 2 2 9{( , ) | }4x y x y+ ≤ 3 10 0x y+ − = (2,1)P 三、解答题（本题有 6 个小题，共 70 分，请将推理、计算过程写在答题卡上。 17．（10 分）在 中，已知点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高所在直线的方程为 . （1）求直线 的方程； （2）求点 的坐标. 18．（12 分）已知圆 的圆心 在 轴的正半轴上，半径为 2，且被直线 截得的弦长为 . （1）求圆 的方程； （2）过点 作圆 的切线，求切线方程. 19.(12 分)如图，在三棱柱 中， 平面 ， 分别为 的中点， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； 20．（12 分）在平面直角坐标系 中，点 ， ，直线 ，圆 ： . （1）若点 在圆 外，求实数 的取值范围； （2）有一动圆 的半径为 1，圆心在 上，若动圆 上存在点 ，使 ，求 圆心 的横坐标 的取值范围． AC BM 3 4 0x y− − = AB ( )1 72y x= − AB B C C x 2 3 C C : 2 4= −l y x C 2 2 6 4 0+ − − + =x y x y b M l M N =NA NO M a ABC∆ (3,2)A 3 4 4 0x y− − = (1,3) 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC , ,D E F 1 1 1, ,AA AC AC 5AB BC= = 1 2AC AA= = AC ⊥ BEF 1B CD C− − xOy (0,3)A (0,1)B B C b 21．（12 分）已知四棱锥 中，底面 为菱形， ，平面 平 面 ， ， 点 E ， F 分 别 为 ， 上 的 一 点 ， 且 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 22．（12 分）已知椭圆 的两个顶点分别为 ，焦点在 轴上，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ，过 作 的垂线交 于点 .求证： 与 的面积之比为 4∶5. 山西大学附中 2019～2020 学年高二第一学期 12 月模块诊断（理） 数学评分细则 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一． 选择题（每小题 5 分，共 60 分） ACBBD，CABDC，DA 二、填空题(本题有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 14.椭圆 15. (푥 ― 1)2 + 푦2 = 2 16. 三、解答题（本题有 6 个小题，共 70 分，请将推理、计算过程写在答题卡上。 P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° PAD ⊥ ABCD 2PA PD AD= = = PD AB 2PE ED= 2BF FA= AE // PFC PB PCD C ( 2,0), (2,0)A B− x 3 2 C D x D x C ,M N D AM BN E BDE∆ BDN∆ 5− 730 3 10 2 − 17．（10 分）在 中，已知点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高所在直线的方程为 . （1）求直线 的方程； （2）求点 的坐标. 解：（1）由 边上的高所在直线方程为 得 ， 则 …………………………2 分 又∵ ，∴直线 的方程为 ， …………………………4 分 即 （或 ） ………………………5 分 （2）因为 边上的中线过点 ，则联立直线方程： ……………7 分 解得： ………………………9 分 即点 坐标为 ……………………………10 分 18．（12 分）已知圆 的圆心 在 轴的正半轴上，半径为 2，且被直线 截得的弦长为 . （1）求圆 的方程； （2）过点 作圆 的切线，求切线方程. AC BM 3 4 0x y− − = AB ( )1 72y x= − AB B AB ( )1 72y x= − 1 2k = 1 2ABk k = − = − ( )3,2A AB ( )2 2 3y x− = − − 2 8 0x y+ − = 2 8y x= − + AC B 2 8 0 3 4 0 x y x y + − =  − − = 4 0 x y =  = B ( )4,0 C C x 2 3 C C ABC∆ (3,2)A 3 4 4 0x y− − = (1,3) 解：（1）设圆心 ， 则圆心 到直线 的距离 . …………………………1 分 因为圆被直线 截得的弦长为 ∴ . …………………………3 分 解得 或 （舍）， …………………………5 分 ∴圆 ： . …………………………6 分 （2）当切线斜率不存在时，直线方程为： ，与圆相切，满足题意；………………8 分 当切线斜率存在时，设直线方程为： ，即： 则： ………………10 分 解得： ………………11 分 此时，切线方程为： ，即： 所以，所求切线方程为： 或 ………………12 分 19.(12 分)如图，在三棱柱 中， 平面 ， 分别为 的中点， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； 解：（1）在三棱柱 中， 平面 ， 四边形 为矩形． 又 ， 分别为 ， 的中点， ………………2 分 又 ， ， ………………4 分 ( ,0)( 0)C a a > C 3 4 4 0x y− − = | 3 4 | 5 ad −= 3 4 4 0x y− − = 2 3 22 3 1d R= − = 3a = 1 3a = − C 2 2( 3) 4x y− + = 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC 1 1A ACC E F AC 1 1AC AC EF∴ ⊥ AB BC= AC BE∴ ⊥ 1x = 3 ( 1)y k x− = − 3 0kx y k− − + = 2 | 3 3| 2 1 k k k − + = + 5 12k = − 53 ( 1)12y x− = − − 5 12 41 0x y+ − = 1x = 5 12 41 0x y+ − = 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC , ,D E F 1 1 1, ,AA AC AC 5AB BC= = 1 2AC AA= = AC ⊥ BEF 1B CD C− − ∴ , ,BE EF E BE BEF EF BEF= ⊂ ⊂  平面 平面 平面 ． ………………5 分 （2）由（1）知， 由 平面 ， 平面 ． ………………6 分 如图建立空间直角坐称系 ． 由题意得 ， ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ， ， ， 令 ，则 ， ， 平面 的法向量 ，………………8 分 又 平面 的法向量为 ， ………………9 分 ． ………………11 分 所以二面角 的余弦值为 ． ………………12 分 20．（12 分）在平面直角坐标系 中，点 ， ，直线 ，圆 ： . （1）若点 在圆 外，求实数 的取值范围； （2）有一动圆 的半径为 1，圆心在 上，若动圆 上存在点 ，使 ，求 圆心 的横坐标 的取值范围． 解：(1) 化为 ………………1 分 由 ， ………………2 分 又因为点 在圆 外，所以： ………………3 分 解得： ………………4 分 ∴ 的取值范围为： ………………5 分 AC∴ ⊥ BEF 1EF CC∥ 1CC ⊥ ABC EF∴ ⊥ ABC E xyz− ( )0,2,0B ( )1,0,0C − ( )1,0,1D ( )0,0,2F ( )0,2,1G ( )= 2,0 1CD∴ , ( )= 1,2,0CB BCD ( ),a b c= ,n 0 0 CD CB  ⋅ =∴ ⋅ =   n n 2 0 2 0 a c a b + =∴ + = 2a = 1b = − 4c = − ∴ BCD ( )2, 1 4= − −，,n  1CDC ( )= 0,2,0EB 21cos = 21 EBEB EB ⋅∴ < ⋅ >= −   nn n 1B CD C− − 21 21 − : 2 4= −l y x C 2 2 6 4 0+ − − + =x y x y b M l M N =NA NO M a 2 2 6 4 0+ − − + =x y x y b ( ) ( )2 23 2 13− + − = −x y b 13 0 13得− > − 3b > (3,13) （2）∵圆 的圆心在直线 上,所以,设圆心 ，…………6 分 又半径为 1， 则圆 的方程为: ， 又∵ ， ∴点 在 的中垂线 上， ………………7 分 的中点 得直线 : ………………8 分 ∴点 应该既在圆 上又在直线 上，即:圆 和直线 有公共点 ………………9 分 ∴ ， ………………11 分 ∴ 终上所述, 的取值范围为: ………………12 分 21．（12 分）已知四棱锥 中，底面 为菱形， ，平面 平 面 ， ， 点 E ， F 分 别 为 ， 上 的 一 点 ， 且 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 解:（1）取 边上点 ，使得 ，连接 ． 因为 ，所以 ，且 ． 又 ，所以 ，且 ． 所以 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ． ………………4 分 M : 2 4= −l y x M ( ),2 4a a − M ( ) ( ) 22 2 4 1x a y a− + − − =   =NA NO N OA m OA 30 2 ，     m 3 2y = N M m M m 32 4 1,2 − − ≤a 9 13 4 4 ≤ ≤a a 9 13 4 4 ，     P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° PAD ⊥ ABCD 2PA PD AD= = = PD AB 2PE ED= 2BF FA= AE // PFC PB PCD PC G 2PG GC= ,EG FG 2PG PE GC ED = = EG CD∥ 2 3EG CD= 2BF FA= AF CD∥ 2 3AF CD= EG FA∥ EG FA= EGFA //AE FG 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．………………5 分 （2）取 中点 ，由 ，所以 ， 又平面 平面 ，交线为 ，且 ， 所以 平面 ． ………………6 分 以 为原点建系，以 ， ， 为 轴， 轴， 轴． 所以 ， ， ， ， 所以 ， ， ． ………………7 分 设平面 的法向量为 ， 则 ， 可取 ， ………………9 分 所以 ………………11 分 设 与平面 所成角为 ， 则 ． ………………12 分 22．（12 分）已知椭圆 的两个顶点分别为 ，焦点在 轴上，离心率为 。 (1)求椭圆 的方程； (2)点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ，过 作 的垂线交 于点 .求证： 与 的面积之比为 4∶5. AE ⊄ PFC FG ⊂ PFC AE // PFC AD O PA PD= PO AD⊥ PAD ⊥ ABCD AD PO AD⊥ PO ⊥ ABCD O OA OB OP x y z (0,0, 3)P (0, 3,0)B ( 2, 3,0)C − ( 1,0,0)D − ( 2, 3, 3)PC = − − ( 1,0, 3)PD = − − (0, 3, 3)PB = − PCD ( , , )x y z=n 2 3 3 0 3 0 PC x y z PD x z  ⋅ = − + − = ⋅ = − − =   n n ( 3,1, 1)= −n 2 3 10cos , 56 5 PB〈 〉 = = × n PB PCD θ sinθ = 10| cos , | 5PB〈 〉 =n C ( 2,0), (2,0)A B− x 3 2 C D x D x C ,M N D AM BN E BDE∆ BDN∆ 解：(1)设椭圆 C 的方程为 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)． 由题意得Error!解得 c＝ 3.所以 b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆 C 的方程为 x2 4 ＋y2＝ 1. ………………4 分 (2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，－n)． 由题设知 m≠±2，且 n≠0. 直线 AM 的斜率 kAM＝ n m＋2，故直线 DE 的斜率 kDE＝－ m＋2 n . ……………… 6 分 所以直线 DE 的方程为 y＝－ m＋2 n (x－m)． 直线 BN 的方程为 y＝ n 2－m(x－2)． ……………… 8 分 联立Error!解得点 E 的纵坐标 yE＝－ n4－m2 4－m2＋n2 .……………10 分 由点 M 在椭圆 C 上，得 4－m2＝4n2，所以 yE＝－ 4 5n. ………………11 分 又 S△BDE＝ 1 2|BD|·|yE|＝ 2 5|BD|·|n|，S△BDN＝ 1 2|BD|·|n|. ……………… 12 分 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5.