上海市彭浦中学2014-2015学年高二第一学期第一次月考数学试题

上海市彭浦中学2014-2015学年高二第一学期第一次月考数学试题

彭浦中学2014学年第一学期第一次月考（高二）‎ 一、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎1、如果，那么_________‎ 解：由得，‎ ‎，解得 ‎ ‎2、已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比为的取值范围是_____________‎ 解：首先数列为各项均为正数等比数列，公比，‎ 其次若时，，易验证满足条件；‎ 若时，，‎ ‎∴‎ ‎3、若数列中，，且对任意的正整数都有，则若时，_________‎ 解：，若时，是首项和公比都为的等比数列，‎ 是首项和公比都为的等比数列，‎ ‎4、设是满足的整数，若成等比数列，则的值依次为__________ 2、4、8‎ 解：‎ 由成等比数列，得，‎ 7‎ 验证，依次为2、4、8时满足条件 ‎5、数列的前项和记为，已知，求______________‎ 解：，两式相减，得，，‎ 将代入得 ‎ ‎6、设数列均为等差数列，，则 解：，‎ ‎7、已知等比数列，，则使不等式成立的最大自然数为____________‎ 解：由，可知公比 所以，设，则，，都小于零 ‎，.‎ 7‎ 故答案为5‎ ‎8、设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：‎ ①若即是等差数列，又是等比数列，则 ②若，则是等差数列；‎ ③若，则是等比数列 这些命题中，真命题的序号是_____________ ①②③‎ ‎9、已知是定义域为正整数集的函数，具有如下性质：对于定义域内任意的，如果成立，则成立，那么下列命题正确的是_①③__‎ ①若成立，则对于任意，均有 ②若成立，则对于任意，均有 ③若成立，则对于任意，均有 解：②错误 ‎ 其逆否命题为 ，与条件矛盾，故错误 ③正确 由条件知 ‎ 其逆否命题为 ‎ 故可以推出推出，依次可推出任意，均有 ‎10、把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则 7‎ 解：是数列的第项，即第项，‎ ‎ 是数列的第项，即第项，故 二、选择题（每小题3分，共12分）‎ ‎11、下列命题中正确的是 （ D ）‎ A．公差为0的等差数列是等比数列 B．成等比数列的充要条件是 C．公比的等比数列是递减数列 D．是成等差数列的充分不必要条件 解：A、B中都忽略了等比数列的公比不能为0，C中若首项为负，则数列为递增数列，故选 ‎12、设是定义在上恒不为零的函数，且对任意的实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是（　D　）‎ Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．‎ 解：，，，，‎ ‎，而，∴‎ ‎13、若把正整数按图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ 解：易得规律，所以，故选Ｄ ‎14、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如：‎ 7‎ 表示二进制的数，将它转换成二进制的形式是 ‎，‎ 那么将二进制数转换成十进制的形式是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 解，故选Ｃ 三、解答题（6分+6分+8分+12分+12分）‎ ‎15、已知为等比数列的前项和，，，前项中的数值最大的项为54，求 解：，‎ 而，所以数列是递增的数列，前项中的数值最大的项为，故，‎ ‎16、已知数列满足 ‎（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 解：（1）当时 ‎ 两式相减，得 ‎（2）设 则 ‎ 7‎ 两式相减，得 ‎17、若为大于1的自然数，求证：‎ 证明：当时，，不等式成立 假定时，不等式成立，即 当时，‎ ‎，其中 由数学归纳法得命题成立 ‎18、已知等差数列的公差不为0，其前项和为，等比数列的前项和为，公比为，且，求的值 解：‎ 若时当时无极限，‎ 若时 故当时，其他情形极限无意义 ‎19、已知正项数列，，且 7‎ ‎（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，若，仍是中的项，求在区间中的所有可能值之和；‎ ‎（3）若将上述递推关系改为：，且数列中任意项，试求满足要求的实数的取值范围 解：（1）对两边取倒数，得，故是等差数列，‎ 又，故 ‎（2）‎ 设是中的第项，则，‎ 所以 ‎（3）对两边取倒数，得，‎ ‎，而，所以 7‎