2019届二轮复习等差等比数列与数列求和课件（41张）（全国通用）

2019届二轮复习等差等比数列与数列求和课件（41张）（全国通用）

第 1 课时　等差、等比数列与数列求和 第六 章　高考专题突破三　高考中的数列问题 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题型分类 深度 剖析 课时作业 题型分类　深度剖析 1 PART ONE 题型一　等差数列、等比数列的交汇 例 1 　 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； 师生共研 解　 设 { a n } 的公比为 q . 解得 q ＝－ 2 ， a 1 ＝－ 2. 故 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 2) n . (2) 求 S n ， 并 判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 故 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 成等差数列 . 等差与等比数列的基本量之间的 关系 ， 利用 方程思想和通项公式、前 n 项和公式求解 . 求解 时 ， 应 “ 瞄准目标 ” ， 灵活 应用数列的有关 性质 ， 简化 运算过程 . 思维升华 跟踪训练 1 　 (2019· 桂林模拟 ) 已知公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 1 ＋ 1 ， S 3 ， S 4 成等差数列 ， 且 a 1 ， a 2 ， a 5 成等比数列 . ( 1) 求数列 { a n } 的通项公式 ； 解　 设 数列 { a n } 的公差为 d . (2) 若 S 4 ， S 6 ， S n 成 等比数列 ， 求 n 及此等比数列的公比 . 解　 由 (1) 知 a n ＝ 2 n － 1 ， ∴ S n ＝ n 2 ， ∴ S 4 ＝ 16 ， S 6 ＝ 36 ， 题型二 　数列的求和 命题点 1 　分组求和与并项求和 多维探究 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 设 等比数列 { a n } 的公比为 q ( q >0 ) ， 则 a n ＝ a 1 q n － 1 ， 且 a n >0 ， 又 ∵ a 1 >0 ， q >0 ， ∴ a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2 ， ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n － 1 . ∴ T n ＝ (1 ＋ 4 ＋ 4 2 ＋ … ＋ 4 n － 1 ) ＋ (0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n － 1) 命题点 2 　错位相减法求和 解　 由 (1) 知 b n ＝ (2 n ＋ 1)2 n ， ∴ T n ＝ 3 × 2 ＋ 5 × 2 2 ＋ 7 × 2 3 ＋ … ＋ (2 n － 1)2 n － 1 ＋ (2 n ＋ 1)2 n ， 2 T n ＝ 3 × 2 2 ＋ 5 × 2 3 ＋ 7 × 2 4 ＋ … ＋ (2 n － 1)2 n ＋ (2 n ＋ 1)·2 n ＋ 1 ， 两式相减 得 ， － T n ＝ 6 ＋ 2 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ … ＋ 2 × 2 n － (2 n ＋ 1)2 n ＋ 1 . ＝－ 2 － (2 n － 1)2 n ＋ 1 ， ∴ T n ＝ 2 ＋ (2 n － 1)2 n ＋ 1 . 例 4 　 在 数列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 4 ， na n ＋ 1 － ( n ＋ 1) a n ＝ 2 n 2 ＋ 2 n . 命题点 3 　裂项相消法求和 证明　 na n ＋ 1 － ( n ＋ 1) a n ＝ 2 n 2 ＋ 2 n 的两边同时除以 n ( n ＋ 1 ) ， 所以 a n ＝ 2 n 2 ＋ 2 n ， (1) 一般求数列的通项往往要构造 数列 ， 此时 可从要证的结论 出发 ， 这 是很重要的解题信息 . (2) 根据数列的特点选择合适的求和 方法 ， 常用 的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等 . 思维升华 ① 证明：数列是等比数列； ② 求数列 { a n } 的通项公式与前 n 项和 S n . 所以 ( a n ＋ a n － 1 )( a n － a n － 1 － 3) ＝ 0 ， 因为 a n >0 ， 所以 a n － a n － 1 ＝ 3 ， 又因为 a 1 ＝ 1 ， 所以 { a n } 是首项 a 1 ＝ 1 ， 公差 d ＝ 3 的 等差数列 ， 所以 a n ＝ 3 n － 2( n ∈ N * ). 解　 因为 b n ＋ 1 － b n ＝ a n ＋ 1 ， b 1 ＝ 1 ， 所以 b n － b n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ， 所以当 n ≥ 2 时 ， b n ＝ ( b n － b n － 1 ) ＋ ( b n － 1 － b n － 2 ) ＋ … ＋ ( b 2 － b 1 ) ＋ b 1 课时作业 2 PART TWO 1. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26. (1) 求 a n 及 S n ； 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 解　 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ， 公差 为 d ， 解得 a 1 ＝ 3 ， d ＝ 2 ， 则 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 3 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n ＋ 1 ， 又 b n ＋ 1 － b n ＝ n ＋ 3 － ( n ＋ 2) ＝ 1 ， 所以数列 { b n } 是首项为 3 ， 公差 为 1 的等差数列 . 1 2 3 4 5 6 2.(2018· 丰台模拟 ) 在数列 { a n } 和 { b n } 中 ， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， b 1 ＝ 3 ， b 2 ＝ 7 ， 等比数列 { c n } 满足 c n ＝ b n － a n . (1) 求数列 { a n } 和 { c n } 的通项公式； 1 2 3 4 5 6 解　 因为 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， 且 a 1 ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 是首项为 1 ， 公差 为 2 的等差数列 . 所以 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1)·2 ＝ 2 n － 1 ， 即 a n ＝ 2 n － 1. 因为 b 1 ＝ 3 ， b 2 ＝ 7 ， 且 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 3 ， 所以 c 1 ＝ b 1 － a 1 ＝ 2 ， c 2 ＝ b 2 － a 2 ＝ 4. 因为数列 { c n } 是 等比数列 ， 所以 c n ＝ c 1 · q n － 1 ＝ 2 × 2 n － 1 ＝ 2 n ， 即 c n ＝ 2 n . 1 2 3 4 5 6 (2) 若 b 6 ＝ a m ， 求 m 的值 . 解　 因为 b n － a n ＝ 2 n ， a n ＝ 2 n － 1 ， 所以 b n ＝ 2 n ＋ 2 n － 1. 所以 b 6 ＝ 2 6 ＋ 2 × 6 － 1 ＝ 75. 令 2 m － 1 ＝ 75 ， 得 m ＝ 38. 1 2 3 4 5 6 3. 已知递增的等比数列 { a n } 满足： a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 28 ， 且 a 3 ＋ 2 是 a 2 和 a 4 的等差中项 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 1 2 3 4 5 6 ∵ { a n } 是递增 数列 ， ∴ a 1 ＝ 2 ， q ＝ 2 ， ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2·2 n － 1 ＝ 2 n . (2) 若 b n ＝ a n a n ， S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ， 求 使 S n ＋ n ·2 n ＋ 1 >62 成立的正整数 n 的最小值 . 解　 ∵ b n ＝ a n a n ＝ 2 n · 2 n ＝－ n ·2 n ， ∴ S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝－ (1 × 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ … ＋ n ·2 n ) ， ① 则 2 S n ＝－ (1 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ … ＋ n ·2 n ＋ 1 ) ， ② ② － ① ， 得 S n ＝ (2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) － n ·2 n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 － 2 － n ·2 n ＋ 1 ， 则 S n ＋ n ·2 n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 － 2 ， 解 2 n ＋ 1 － 2>62 ， 得 n >5 ， ∴ n 的最小值为 6. 1 2 3 4 5 6 4.(2018· 河北省唐山市迁安三中月考 ) 正项等差数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 4 ， 且 a 2 ， a 4 ＋ 2 ， 2 a 7 － 8 成 等比数列 ， { a n } 的前 n 项和为 S n . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 设 数列 { a n } 的公差为 d ( d >0 ) ， 由已知得 a 2 (2 a 7 － 8) ＝ ( a 4 ＋ 2) 2 ， 化简 得 ， d 2 ＋ 4 d － 12 ＝ 0 ， 解 得 d ＝ 2 或 d ＝－ 6( 舍 ) ， 所以 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 n ＋ 2. 1 2 3 4 5 6 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b n 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 技能提升练 ∴ S n ＋ 1 ( S n ＋ 1 － 2 S n － λ ) ＝ 0 ， ∵ a n >0 ， ∴ S n ＋ 1 >0 ， ∴ S n ＋ 1 － 2 S n － λ ＝ 0 ； ∴ S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ λ . (2) 是否存在实数 λ ，使得数列 { a n } 为等比数列，若存在，求出 λ ；若不存在，说明理由 . 1 2 3 4 5 6 解　 存在 λ ＝ 1 ，使得数列 { a n } 为等比数列，理由如下： S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ λ ， S n ＝ 2 S n － 1 ＋ λ ( n ≥ 2) ， 相减得 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ≥ 2) ， ∴ { a n } 从第二项起成等比数列， ∵ S 2 ＝ 2 S 1 ＋ λ ，即 a 2 ＋ a 1 ＝ 2 a 1 ＋ λ ， ∴ a 2 ＝ 1 ＋ λ >0 ，得 λ > － 1 ， 1 2 3 4 5 6 ∴ 2( λ ＋ 1) ＝ ( λ ＋ 1) 2 ， ∴ λ ＝－ 1( 舍 ) 或 λ ＝ 1 ，经检验符合题意 . 6. 设等比数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的公比为 q ， 等差数列 b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 的公差为 d ， 且 q ≠ 1 ， d ≠ 0. 记 c i ＝ a i ＋ b i ( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ). (1) 求证：数列 c 1 ， c 2 ， c 3 不是等差数列； 证明　 假设数列 c 1 ， c 2 ， c 3 是 等差数列 ， 1 2 3 4 5 6 因为 b 1 ， b 2 ， b 3 是 等差数列 ， 所以 2 b 2 ＝ b 1 ＋ b 3 . 从而 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 . 所以 a 1 ＝ a 2 ＝ a 3 ， 这 与 q ≠ 1 矛盾 ， 从而 假设不成立 . 所以数列 c 1 ， c 2 ， c 3 不是等差数列 . 拓展冲刺练 (2) 设 a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2. 若数列 c 1 ， c 2 ， c 3 是 等比数列 ， 求 b 2 关于 d 的函数关系式及其定义域； 解　 因为 a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 2 n － 1 . 1 2 3 4 5 6 即 b 2 ＝ d 2 ＋ 3 d ， 由 c 2 ＝ 2 ＋ b 2 ≠ 0 ， 得 d 2 ＋ 3 d ＋ 2 ≠ 0 ， 所以 d ≠ － 1 且 d ≠ － 2. (3) 数列 c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 能否为等比数列？并说明理由 . 1 2 3 4 5 6