2018届二轮复习集合的概念与运算学案（全国通用）

2018届二轮复习集合的概念与运算学案（全国通用）

‎1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；‎ ‎2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．‎ ‎ ‎ ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎2．集合间的基本关系 表示 关系　　　‎ 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学科网ZXXK]‎ 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:学_科_网]‎ A＝B[来源:Zxxk.Com]‎ 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 并集的性质：‎ A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．‎ 交集的性质：‎ A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．‎ 补集的性质：‎ A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．‎ 高频考点一　集合的含义 例1、(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．‎ ‎(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】(1)2　(2) ‎【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．‎ ‎【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)‎ A．3B．4C．5D．6‎ ‎(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.‎ ‎【答案】(1)B　(2)2‎ ‎【解析】(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.‎ 当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.‎ 所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.‎ 即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．‎ ‎(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，得＝－1，‎ 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ 高频考点二　集合间的基本关系 例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)‎ A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R ‎(2)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为(　　)‎ A．2 B．－1 C．－1或2 D.或2‎ ‎【答案】(1)A　(2)A ‎【解析】(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．‎ ‎(2)由＝，得x＝2，则A＝{2}．‎ 因为B＝{1，m}且A⊆B，‎ 所以m＝2.‎ 高频考点三　集合的基本运算 例3、(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－2，3]‎ C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)‎ ‎【答案】(1)D　(2)B ‎【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．‎ ‎(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R ‎(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U (A∪B)＝(　　)‎ A．{2，6} B．{3，6} ‎ C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}‎ ‎【答案】(1)C　(2)A ‎【解析】(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.‎ ‎(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，‎ 又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U (A∪B)＝{2，6}．‎ 高频考点四　集合的新定义问题 例4、若集合A具有以下性质：‎ ‎(Ⅰ)0∈A,1∈A；‎ ‎(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.‎ 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)‎ ‎(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；‎ ‎(2)有理数集Q是“好集”；‎ ‎(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.‎ A．0B．1C．2D．3‎ ‎【答案】C ‎【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．‎ ‎【变式探究】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(　　)‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.‎ ‎1.【2016高考新课标1文数】设集合,,则（ ）‎ ‎（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合A与集合B公共元素有3,5,,故选B. ‎ ‎2. 【2016高考新课标2文数】已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以，因为，所以，故选D.‎ ‎3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合，则＝（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由补集的概念，得，故选C．‎ ‎4.【2016高考天津文数】已知集合，，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】,选A.‎ ‎5.【2016高考四川文科】设集合,Z为整数集，则集合A∩‎ Z中元素的个数是( )‎ ‎(A)6 　　 (B) 5 　　 (C)4 　　 (D)3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选B.‎ ‎6.【2016高考浙江文数】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=（ ）‎ ‎ A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据补集的运算得．故选C.‎ ‎7.【2016高考北京文数】已知集合，或，则（ ）‎ A. B.或 C. D.或 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，故选C.‎ ‎8.【2016高考山东文数】设集合，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎1.【2015高考新课标1，文1】已知集合，则集合中的元素个数为( )‎ ‎ （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.‎ ‎2.【2015高考重庆，文1】已知集合，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知及交集的定义得，故选C.‎ ‎3.【2015高考浙江，文1】已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由题意得，，所以，故选A.‎ ‎4.【2015高考天津，文1】已知全集,集合,集合,则集合（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,则,故选B.‎ ‎5.【2015高考四川，文1】设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )‎ ‎(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），选A ‎6.【2015高考山东，文1】 已知集合，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C）（ （D）） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为所以 ‎，故选.‎ ‎7.【2015高考陕西，文1】设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2015高考安徽，文2】设全集，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ ，∴，∴选B.‎ ‎9.【2015高考广东，文1】若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎1．下列集合中表示同一集合的是(　　)‎ A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}‎ B．M＝{2,3}，N＝{3,2}‎ C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}‎ D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}‎ ‎【答案】B ‎2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.‎ ‎∴B中共有6个元素．‎ ‎3．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，‎ 又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.‎ ‎4．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1,0} B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故选A.‎ ‎5．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于(　　)‎ A．{3} B．{4}‎ C．{3,4} D．∅‎ ‎【答案】A ‎6．已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U(A∩B)等于(　　)‎ A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】lg(x＋1)≤0⇒00}，B＝{x|x≤1}，则(　　)‎ A．A∩B≠∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B ‎【答案】B ‎【解析】由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.‎ ‎10．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) ‎ C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，‎ 得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]．‎ ‎11．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．7 D．31‎ ‎【答案】B ‎【解析】具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.‎ ‎12．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，则(∁RS)∩T＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)‎ C．(2，3) D．(0，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，‎ 因此(∁RS)∩T＝(2，3)．‎ ‎14．集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|00，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，‎ ‎∴A－B＝[－1，0)．‎