山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二下学期摸底考试数学（理）试题

山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二下学期摸底考试数学（理）试题

长治二中2019-2020学年高二下学期摸底考试 数学试题（理科）‎ ‎【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】‎ 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合，，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是(　　)‎ ‎①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 ‎②2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ‎③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 ‎　 A．①③　　 B．②③　　 C．①②　　 D．①②③‎ ‎5．若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数，则关于函数的说法不正确的是(　　)‎ A．在上是增函数 B．定义域为 C．值域为 D．只有一个零点 ‎7．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A． 192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎8．若函数的导函数满足，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9．展开式中的常数项是(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知中，，，， 则，类比上述结论，可推测：在三棱锥中，若两两垂直，，，，设，，, ,则 (　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．如图，在直三棱柱中，,,,分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.‎ ‎14．若，则______.（用数字作答）‎ ‎15．‎ ‎2020年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者.现将6名志愿者分配到汉阳、江岸、硚口这3个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿者，则不同的分配方法有_______种.（用数字作答）‎ ‎16．在三棱锥中，底面是直角三角形且，斜边上的高为．三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(10分)已知中，角的对边分别为，．‎ ‎（1）求角的大小； （2）若，求的面积．‎ ‎18．(12分) 如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．(12分) 已知，函数（,为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．‎ ‎20．(12分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为， 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是上的动点，点是上的动点，求的最小值及此时点的直角坐标。‎ ‎21．(12分) 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，分别为椭圆的左、右顶点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过左顶点的直线与椭圆另交于点，与轴交于点，在平面内是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求面积的最大值；若不存在，说明理由。‎ ‎22．(12分)已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明： 。‎ 数学试题答案（理科）‎ ‎1—5 CBDAC 6—10 CBADD 11—12 CB ‎13. 14. 1568‎ ‎15. 540 16. ‎ ‎17.解：（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∴，即，‎ 又，∴，∴，即．…………………5分 ‎（2）由余弦定理可得，‎ 又，∴，∴的面积为．…………10分 ‎18．解（Ⅰ）由平面，平面，故。‎ 由，得为等腰直角三角形，故。‎ 由，垂直于平面内两条相交直线，故平面。…………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为等腰直角三角形，。‎ 过作垂直于，易知，‎ 又已知，故。由得，，‎ 故。‎ 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，，。‎ 设平面的法向量为，由，，得 故可取。…………………8分 由（Ⅰ）可知平面，故平面的法向量可取为，即。…………………10分 从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角的余弦值为。…………………12分 ‎19. 解：（1）当时，，‎ 所以 令，即，因为，‎ 所以，解得，‎ 所以函数的单调递增区间是．…………………………………………………5分 ‎(2)因为函数在上单调递增，‎ 所以对都成立．‎ ‎…………………7分 因为， ‎ 所以对都成立．‎ 因为，所以对都成立，‎ 即 对都成立．‎ 令，则.‎ 所以在上单调递增，‎ 所以即，因此的取值范围为.‎ ‎…………………12分 ‎20. 解：（1）由 ，可得曲线的普通方程为：；‎ 由得普通方程为：.…………………6分 ‎（2）由题设可知，‎ 则 ，‎ 其中，，当且仅当，时，，…………………10分 此时点的坐标为 . …………………12分 ‎21. 解：（1）由题知，，，，‎ 所以椭圆方程为：； …………………4分 ‎（2）设直线，‎ 由 消得： ‎ 因为直线与椭圆相交于两点，，，所以，‎ ‎，…………………6分 ‎，，设，，‎ ‎，，‎ 所以，…………………8分 即，即，，…………………10分 所以存在.‎ 此时， ‎ 当且仅当即时取等号. …………………12分 ‎22. 解：（1）由题知函数的定义域为,‎ ‎ ，………………………1分 令，，‎ ‎①当时，，恒成立，所以的单调递增区间为；‎ ‎………………………………..3分 ‎②当时，，方程有两根，其中 ，‎ ‎，，所以，‎ 当，时，，所以的单调递增区间为，；‎ 当时，，所以的单调递减区间为，……………..5分 综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.…………………6分 ‎（2）证明：由（1）知，当，存在两个极值点，在上单调递减，且，已知，且，…………………8分 ‎ 因为所以上式，‎ ‎，又因为，所以，所以，‎ ‎，即.…………………12分