高中数学知识点总结

高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。      如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C     | lg | lg ( , )| lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。    如：集合 ，A x x x B x ax     | |2 2 3 0 1 若 ，则实数 的值构成的集合为B A a （答： ， ， ）  1 0 1 3 3. 注意下列性质：  （ ）集合 ， ，……， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a an n （ ）若 ， ；2 A B A B A A B B     （3）德摩根定律：            C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B    ， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，求实数x ax x a M M M a    5 0 3 52 的取值范围。   （∵ ，∴ · ∵ ，∴ · ， ， ） 3 3 5 3 0 5 5 5 5 0 1 5 3 9 25 2 2              M a a M a a a  5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ，“且” 和( ) ( )  “非”( ). 若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q 若 为真，当且仅当 、 至少有一个为真p q p q 若 为真，当且仅当 为假p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应 元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？    例：函数 的定义域是y x x x    4 3 2lg      （答： ， ， ， ）0 2 2 3 3 4  10. 如何求复合函数的定义域？  如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( )     0 义域是_____________。  （答： ， ）a a 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？  如： ，求f x e x f xx  1 ( ). 令 ，则t x t  1 0 ∴x t 2 1 ∴f t e tt()  2 1 2 1  ∴f x e x xx( )   2 1 2 1 0 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解 x；②互换 x、y；③注明定义域）    如：求函数 的反函数f x x x x x ( )         1 0 02    （答： ）f x x x x x           1 1 1 0 ( ) 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设 的定义域为 ，值域为 ， ， ，则y f(x) A C a A b C f(a) = b f 1     ( )b a          f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( )， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？  （ ， ，则 （外层） （内层） y f u u x y f x  ( ) ( ) ( )     当内、外层函数单调性相同时 为增函数，否则 为减函数。）f x f x ( ) ( )  如：求 的单调区间y x x  log 1 2 2 2 （设 ，由 则u x x u x     2 2 0 0 2  且 ， ，如图：log 1 2 21 1u u x     u O 1 2 x 当 ， 时， ，又 ，∴x u u y   ( ] log0 1 1 2 当 ， 时， ，又 ，∴x u u y   [ ) log1 2 1 2 ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？  在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x'( ) ( ) 0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若 呢？f x'( )  0  如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a    0 13( ) 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令f x x a x a x a'( )                3 3 3 3 02 则 或x a x a 3 3 由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) [ )1 3 1 3    ∴a 的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( )     若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( )    注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （ ）若 是奇函数且定义域中有原点，则 。2 f(x) f(0) 0 如：若 · 为奇函数，则实数f x a a a x x( )     2 2 2 1 （∵ 为奇函数， ，又 ，∴f x x R R f( ) ( )  0 0 0 即 · ，∴ ）a a a2 2 2 1 0 1 0 0      又如： 为定义在 ， 上的奇函数，当 ， 时， ，f x x f x x x( ) ( ) ( ) ( )   1 1 0 1 2 4 1  求 在 ， 上的解析式。f x( ) 1 1    （令 ， ，则 ， ，x x f x x x        1 0 0 1 2 4 1( ) 又 为奇函数，∴f x f x x x x x( ) ( )         2 4 1 2 1 4   又 ，∴ ， ， ）f f x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 0 0 2 4 1 1 0 0 2 4 1 0 1                17. 你熟悉周期函数的定义吗？  （若存在实数 （ ），在定义域内总有 ，则 为周期T T f x T f x f x  0 ( ) ( ) 函数，T 是一个周期。）  如：若 ，则f x a f x   ( ) （答： 是周期函数， 为 的一个周期）f x T a f x( ) ( ) 2  又如：若 图象有两条对称轴 ，f x x a x b( )    即 ，f a x f a x f b x f b x( ) ( ) ( ) ( )      则 是周期函数， 为一个周期f x a b( ) 2  如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称  f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称 1 f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2   f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称 2 0 将 图象 左移 个单位 右移 个单位 y f x a a a a y f x a y f x a       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 上移 个单位 下移 个单位 b b b b y f x a b y f x a b ( ) ( ) ( ) ( )          0 0 注意如下“翻折”变换： f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) (| |)      如：f x x( ) log 2 1  作出 及 的图象y x y x   log log2 21 1 y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a  （ ）一次函数：1 0y kx b k      （ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y k x k y b k x a k O a b      '( ) 的双曲线。  （ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2 4 4 2 2 2 y ax bx c a a x b a ac b a           顶点坐标为 ， ，对称轴      b a ac b a x b a2 4 4 2 2 开口方向： ，向上，函数a y ac b a  0 4 4 2 min a y ac b a  0 4 4 2 ，向下， max 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax bx c x x y ax bx c x2 1 2 20 0      ， 时，两根 、 为二次函数 的图象与 轴 的两个交点，也是二次不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0   ( ) ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程 的两根都大于ax bx c k b a k f k 2 0 0 2 0                ( ) y (a>0) O k x1 x2 x 一根大于 ，一根小于k k f k ( ) 0  （ ）指数函数： ，4 0 1y a a ax    （ ）对数函数 ，5 0 1y x a aa  log 由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (01 e=1 0

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