黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2018级高三 上学期期中考试 理科数学 试卷 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位），则等于（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎3．下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎（1）命题“所有幂函数的图象经过点”.‎ ‎（2）“在中，若，则”的逆否命题是真命题.‎ ‎（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角.‎ ‎（4）命题“，”的否定是“，”.‎ ‎（5）命题“则是的充分不必要条件”.‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且， ‎ 则（ ）‎ 9‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题：‎ ‎①若，，则； ②若，，则；‎ ‎③若，，则； ④若，，，则.‎ 其中真命题是（ ）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④‎ ‎6．函数的大致图像为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，‎ 则异面直线与所成角的大小是（ ）‎ 9‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的最小正周期为，‎ 则时，函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），‎ 设，表示数列的前项之和，‎ 则使不等式成立的最大正整数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．数列中，若，，则 ‎ ‎14．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 ‎ 9‎ ‎15．三棱锥中，、、两两互相垂直，且，‎ 则三棱锥的外接球的表面积是___________‎ ‎16．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，‎ ‎，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在中，角、、的对边分别是、、，若.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，，求的周长.‎ ‎18．在数列中，，对，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，‎ 四边形是正方形，，，‎ ‎，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎20．如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且，四边形ADEF ‎ 9‎ 是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；‎ ‎（2）若中，，求二面角的余弦值.‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求k的取值范围；‎ ‎（3）设n，求证：．‎ ‎22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面 直角坐标系，直线过点，倾斜角为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎23．设 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对任意的实数，有恒成立，求实数的取值范围.‎ 9‎ 一、单选题 ‎1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A 二、填空题 ‎13．61 14．4 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）由正弦定理得：，‎ ‎∵，∴，∵是的内角，∴.‎ ‎（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎∴，得：，∴的周长为.‎ ‎18．（1），，又，‎ 数列是首项、公差均为1的等差数列．，所以；‎ ‎（2）由（1）得，，．‎ ‎19．（1）略； （2）由点为的中点，且点平面可知，‎ 点到平面的距离与点到平面的距离相等，‎ 由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，‎ 9‎ 由题意得，，所以，‎ 在△CDG中，，‎ 设点A到平面CDG的距离为h，则，‎ 由得，，所以点F到平面CDG的距离为.‎ ‎20．（1）略；‎ ‎（2）由（1）知、、，以点为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立空间直角坐标系，如图. 可得、、、，‎ 故，，，设为平面的一个法向量，‎ 则，得，同理可得平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 二面角的是钝二面角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎21．（1）当时，，，由，解得；由，解得，因此函数单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（2），故．‎ 9‎ ‎ 当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立． 当时，令，解得．‎ 当，，单调递增；当，，单调递减；‎ 于是，与恒成立相矛盾． 综上，k的取值范围为． ‎ ‎（3）由（2）知，当时，． 令，则+，即 因此≤． 所以.‎ ‎22．（Ⅰ） ， ， ，‎ 曲线的直角坐标方程为：，直线过点，倾斜角为，‎ 直线的参数方程为：（t为参数）.‎ ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，‎ 化简得：，，，，‎ 由题意得：点在圆的外侧下方，，，.‎ 9‎ ‎23．（1），‎ 令 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上所述 ‎（2）恒成立等价于 ‎（当且仅当时取等）‎ 恒成立，‎ 9‎