圆的方程教案1
圆的方程
●知识梳理
1.圆的方程
（1）圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.
说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.
（2）圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）
将（*）式配方得
（x+）2+（y+）2=.
当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.
说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：
a.x2、y2项系数相等且不为零.
b.没有xy项.
（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.
（3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.
（3）圆的参数方程
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ①
x=rcosθ，
y=rsinθ
②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ②
x=a+rcosθ，
y=b+rsinθ
说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.
在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，
仅当（）2+（）2－4·＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.
故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.
●点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
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A.－1
0，得7t2－6t－1<0，
即－0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点
B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切
D.当b0）为两定点，动点P到
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A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.
解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得
（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆.
评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.
【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2，
则有（）2+（）2=9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.
【例3】 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.
剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.
设动圆圆心为M（x，y），
⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.
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∵AB为⊙O的直径，
∴MO垂直平分AB于O.
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，
∴=|y+3|.
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.
评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.
●闯关训练
夯实基础
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.
答案：B
3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.
答案：2
4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.
解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
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（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.
Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3，所以M2在圆C外.
（理）已知动圆M：x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求半径最小时圆M的方程.
解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（－1，－1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，
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|AM|2=|AN|2+|MN|2，
∴（m+1）2=－2（n+2）.（*）
故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）2=－2（y+2）.
（2）由（*）式，知（m+1）2=－2（n+2）≥0，
于是有n≤－2.
而圆M半径r=≥，
∴当r=时，n=－2，m=－1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=5.
探究创新
9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：
若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.
（1）若P点斜坐标为（2，－2），求P到O的距离|PO|；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
解：（1）∵P点斜坐标为（2，－2），
∴=2e1－2e2.
∴||2=（2e1－2e2）2=8－8e1·e2=8－8×cos60°=4.
∴||=2，即|OP|=2.
（2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则=xe1+ye2.
∴（xe1+ye2）2=1.
∴x2+y2+2xye1·e2=1.
∴x2+y2+xy=1.
故所求方程为x2+y2+xy=1.
●思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤：
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（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
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教学点睛
1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.
2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.
3.在一般方程中，当D2+E2－4F=0时，方程表示一个点（－，－），当D2+E2－4F<0时，无轨迹.
4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.
5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.
拓展题例
【例1】 圆x2+y2=1内有一定点A（，0），圆上有两点P、Q，若∠PAQ=90°，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.
分析：先求出PQ中点E的轨迹方程为x2+y2－x－=0.
再求切点弦PQ所在直线的方程.
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则过P、Q的切线方程分别是
x1x+y1y=1，x2x+y2y=1.
又M（m，n）在这两条切线上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，
∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，
∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1.
又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组
mx+ny=1
y=x
x=，y=.
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将（，）代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x－=0.
这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程.
【例2】 如图，过原点的动直线交圆x2+（y－1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.
解：设P（x，y），圆O1：x2+（y－1）2=1与直线y=2切于点A，连结AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，
又|PQ|=|PR|=2－y，
∴在Rt△OQA中，|OA|2=|AQ|2+|OQ|2，
即22=|x|2+［－（2－y）］2，
化简整理得x2（x2+y2－4）=0，
∴x=0或x2+y2=4为所求的轨迹方程.
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