2018届二轮复习数列求和的类型和方法学案（全国通用）

2018届二轮复习数列求和的类型和方法学案（全国通用）

专题35 数列求和的类型和方法 考纲要求:‎ ‎ 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．　‎ ‎ 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法(①分组求和；②拆项相消；③错位相减；④倒序相加；⑤并项求和)．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．等差、等比数列的前n项和公式 ‎ Sn＝＝na1＋d；Sn＝＝na1＋d；Sn＝ ‎2．一些常见数列的前n项和公式 ‎(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.‎ ‎3、非等差、等比数列求和的常用方法 ‎(1)倒序相加法:如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．‎ ‎(2)分组转化求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．‎ ‎(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．‎ ‎ (4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ 应用举例:‎ 类型一、公式法求和 ‎【例1】【2017滨州质检】已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ ‎【答案】27‎ ‎×＝9＋18＝27.‎ ‎【例2】【2017大连市一中高三摸底考试】已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】an＝. Tn＝2n－1.‎ 类型二、分组转化法求和 ‎【例3】已知数列的前项和为. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ， 当时， ‎ 当时， 不满足上式，故 ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 令 ① ‎ ‎ ②‎ ‎①—②得： ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.‎ ‎【例4】【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.‎ ‎【答案】an＝3n. Sn＝－(3n－1)＋n2.‎ ‎ Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2.‎ 点评：分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ ‎(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．‎ 类型三、错位相减法求和 ‎【例5】【湖南省衡阳市第八中学2018届高三上学期第三次月考】已知等差数列的前项和为，公差，且， 成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎-②，得，‎ ‎∴.‎ ‎【例6】已知是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且， ‎ ‎， .‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设， ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎ 两式相减得 ‎ 所以 . ‎ 类型四、列项相消法求和 ‎ 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．归纳起来常见的命题角度有：‎ 角度一：形如an＝型 ‎【例7】【山西省榆社中学2018届高三11月月考】设为数列的前项和， ，数列满足.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.‎ ‎【答案】（1）， ； （2）‎ 角度二：形如an＝ 型 ‎【例8】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 014＝ (　　)‎ ‎ A．－1　　 B．－‎1 C．－1 D．＋1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由f(4)＝2可得‎4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x. ∴an＝＝＝－，‎ ‎ S2 014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋‎ ‎ (－)＝－1. ‎ ‎3.形如an＝型 ‎【例9】【2017天津市十二区联考】正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎ (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.‎ ‎【答案】（1）an＝2n.；（2）证明见解析．‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎ 数列求和的方法：‎ ‎(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．‎ ‎ (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：‎ ‎ ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．‎ ‎②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．‎ ‎（3）利用裂项相消法求和的注意事项 ‎(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；‎ ‎(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.‎ 实战演练:‎ ‎1．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知数列的前项和为，且满足： ， ， （）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ 综上知时， ， ，故．‎ ‎（2），‎ 则．‎ ‎2．【山西省实验中学2018届高三上学期第二次月考】已知数列的前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 左右两边乘于2得 ④‎ ‎③-④得 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用．‎ ‎3．【广西玉林、贵港市2017届高三下学期质量检测考试】已知数列中， ， （）.‎ ‎（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ，‎ 两式相减得，‎ ‎∴‎ 点睛：本题主要考查数列的证明，错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力。第一问中将已知的递推公式进行变形，转化为的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问中得到的结论代入，先得到的表达式，利用错位相减法，即可得到数列的前项和为。‎ ‎4．已知递增的等差数列的前项和为， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 所以 ‎（2），‎ 所以 ‎.‎ ‎5．【河北省衡水第一中学2018届高三上学期分科综合考试】已知数列满足， ． ‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎①-②得，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查数列的递推关系、等差数列的定义及等比数列的求和公式，“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎6．已知数列的各项均为正数， 是数列的前项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎ 是以3为首项，2为公差的等差数列， ‎ ‎． ‎ ‎（2） ③‎ 又 ④‎ ‎④－③ ‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎7．【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎∴是等比数列，∴.‎ ‎（2）由，则，‎ 则 ‎ ‎.‎ ‎8．已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列， ，其前项和满足 (为常数，且)．‎ ‎（1）求数列的通项公式及的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 得或（舍去），． ‎ ‎ （2）由（1）知数列的首项b1=8，公差d=8， ∴{bn}的前n项和Tn前项和为， ‎ ‎ ， ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 点睛：本题着重考查了等差等比数列的通项与求和、数列求和中的裂项相消法，易错点是数列通项处理时是否需要提取系数.‎ ‎9．【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】已知等差数列的前项和为，且， ，数列的前项和.‎ ‎（1）求数列， 的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) （），.(2) .‎ ‎（2）令，‎ 当时， ；‎ 当时， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 而满足上式，故 点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎10．【山西省芮城中学2018届高三期中考试】已知数列的前项和满足，其中 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) （）；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果 ‎ ‎