高考数学专题复习：概率与统计精选精练初稿

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概率与统计精选精练 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一.解答题 1. ．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名 观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直 方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” （1）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别 有关？ 非体 育迷 体 育 迷 合 计 男 女 10 5 5 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样 方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 .若 每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 附： ， 0.05 0.01 3.84 1 6.63 5 【答案】【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应 用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考 查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而 列联表如下： 非体育 迷 体育迷 合 计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 10 0 将 列联表中的数据代入公式计算，得 ……3 分 因为 ，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. …… 6 分 （2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众 中抽取一名“体育迷”的概率为 . 2 2× X X ( )E X ( )D X ( )2 11 22 12 212 1+ 2+ +1 +2 -= n n n n n n n n n χ ( )2P kχ ≥ k 2 2× 2 2× ( ) ( )2 2 11 22 12 212 1+ 2+ +1 +2 - 100 30 10-45 15 100= = = 3.03075 25 45 55 33 n n n n n n n n n χ × × × ≈× × × 3.030<3.841 1 4 由题意 ，从而 的分布列为 0 1 2 3 ……10 分 ， . …… 12 分 【编号】3809 【难度】一般 2. ．一个口袋中有 2 个白球和 个红球（ ，且 ），每次从袋中摸出两个球（每 次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （1）试用含 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P； （2）若 ，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 ，当 为何值时， 最大。 【答案】解：（1）一次摸球从 个球中任选两个，有 种选法，其中两球颜色 相同有 种选法；一次摸球中奖的概率 4 分 （2）若 ，则一次摸球中奖的概率是 ，三次摸球是独立重复实验，三次摸 球中恰有一次中奖的概率是 8 分 （ 3 ） 设 一 次 摸 球 中 奖 的 概 率 是 ， 则 三 次 摸 球 中 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 是 ， ， 在 是增函数，在 是减函数， 当 时， 取最大值 10 分 ， ，故 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12 分 【编号】3803 【难度】一般 3. ．甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每 次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下， 甲运动员 射击环 数 频数 频率 7 10 0.1 8 10 0.1 9 0.45 13, 3X B     X X P 27 64 27 64 9 64 1 64 ( ) 1 3= =3 =4 4E X np × ( ) ( ) 1 3 9= 1- =3 =4 4 16D X np p × × n 2≥n *Nn ∈ n 3=n )( pf n )( pf 2+n 2 2+nC 2 2 2 CCn + 23 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ +−=+= + nn nn C CCP n n 3=n 5 2=P 1 2 3 3 54(1) (1 ) 125P C P P= ⋅ ⋅ − = p 21 3 )1()( ppCpf −⋅⋅= ppp 363 23 +−= 10 << p ( )( )13133129)(' 2 −−=+−= pppppf )( pf∴      3 1,0      1,3 1 ∴ 3 1=p )( pf 3 1 23 2 2 2 =++ +−=∴ nn nnp ),2 ∗∈≥ Nnn（ 2=∴n 2=n x 10 35 合计 100 1 乙运动员 射击环 数 频数 频率 7 8 0.1 8 12 0.15 9 10 0.35 合计 80 1 若将频率视为概率，回答下列问题， （1）求甲运动员击中 10 环的概率 （2）求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上（含 9 环）的概率 （3）若甲运动员射击 2 次，乙运动员射击 1 次， 表示这 3 次射击中击中 9 环以上（含 9 环）的次数，求 的分布列及 . 【答案】解： （1）设“甲运动员击中 10 环”为事件 , 甲运动员击中 10 环的概率为 0.35. ……… （2）设甲运动员击中 9 环为事件 ，击中 10 环为事件 则甲运动员在一次射击中击中 9 环以上（含 9 环）的概率 ………… 甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率 答：甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上（含 9 环）的概率为 0.992. …… （3） 的可能取值是 0，1，2，3 所以 的分布列是 ………… . ………… 【编号】3801 【难度】一般 4. ．道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉 酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q（简称血酒含量，单位是毫克/100 毫升），当 20≤Q<80 时，为酒后驾车；当 Q≥80 时，为醉酒驾车. 某市公安局交通管 理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量，其中 y z ξ ξ Eξ 45, 0.35, 32x y z= = = A ( ) 0.35P A = ∴ 2′ 1A 2A 1 2 1 2( ) ( ) ( )P P A A P A P A= + = + 0.45 0.35 0.8= + = 4′ ∴ [ ]3 1 21 1 ( )P P A A= − − + 31 0.2 0.992= − = 6′ ξ ( ) 20 0.2 0.25 0.01P ξ = = × = ( ) 1 2 21 0.2 0.8 0.25 0.2 0.75 0.11P Cξ = = × × × + × = ( ) 2 1 22 0.8 0.25 0.8 0.2 0.75 0.4P Cξ = = × + × × × = ( ) 23 0.8 0.75 0.48P ξ = = × = ξ 10′ 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0.48 2.35Eξ = × + × + × + × = 12′ 0 1 2 P 0 1 2 3 0.01 0.11 0.4 0.48 ξ 28 15 7 3 28 1 ξ P 查处酒后驾车的有 6 人，查处醉酒驾车的有 2 人，依据上述材料回答下列问题： （Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数； （Ⅱ）从违法驾车的 8 人中抽取 2 人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所 求期望的实际意义； （Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事 故的概率分别是 0.1 和 0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算 被查处的 8 名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率。（精确到 0.01）并针对你的计 算结果对驾驶员发出一句话的倡议. 【答案】解：（Ⅰ） ； 25% （2 分） （Ⅱ） 解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量 ，则 可能取到的值有 0，1，2 ， ， . 则分布列如下 ，实际意义：在抽取的两人中平均含有 0.5 个醉酒驾车人员. （ 8 分） （Ⅲ） （ 10 分） 一句话倡议：答案开放，教师酌情给分 【编号】3799 【难度】一般 5. ．某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、 丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是 ，甲、丙 两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 ． （1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。 （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。 【答案】解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分 别为事件 A、B、C， 则 ，且有 即 （Ⅱ）由（I） 25 1 ξ ξ 28 15)0( 2 8 2 6 === C Cp ξ 7 3)1( 2 8 1 2 1 6 =⋅== C CCp ξ 28 1)2( 2 8 2 2 === C Cp ξ 2 1=ξE −= 1p 70.075.09.0 26 ≈⋅ 5 4 15 1 4 1 4( ) 5P A = 1( ) ( ) 15 ,1( ) ( ) 4 P A P C P B P C  =  = 1[1 ( )][1 ( )] 15 1( ) ( ) 4 P A P C P B P C  − − =  = 3 2( ) , ( )8 3P B P C∴ = = 1 5 1( ) 1 ( ) , ( ) 1 ( ) , ( ) 1 ( )5 8 3P A P A P B P B P C P C= − = = − = = − = “甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件： ，其中概率为 P 【编号】3797 【难度】一般 6. ．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取 16 名学 生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数 字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁 5.0，则称为 “好视力”，求校医从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“好视力”的概率； （Ⅲ）以这 16 人的样本数据来估计整个学 校的总体数据，若从该校(人数很多)任选 3 人，记 表示抽到“好视力”学生的人数， 求 的分布列及数学期望． 【 答 案 】 解 ： （ Ⅰ ） 众 数 ： 4.6 和 4.7 ； 中 位 数 ： 4.75 …………………………2 分 （Ⅱ）设 表示所取 3 人中有 个人是“好视力”，至多有 1 人是“好视力”记为事件 ，则 ……………6 分 （Ⅲ） 的可能取值为0、1、2、3 …………………7分 分布列为 A B C A B C A B C⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 4 3 1 4 5 2 1 3 2 29( ) 5 8 3 5 8 3 5 8 3 60P P A B C A B C A B C= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ξ ξ iA i A 140 121)()()( 3 16 2 12 1 4 3 16 3 12 10 =+=+= C CC C CAPAPAP ξ 64 27)4 3()0( 3 ===ξP 64 27)4 3(4 1)1( 21 3 === CP ξ 64 9 4 3)4 1()2( 22 3 === CP ξ 64 1)4 1()3( 3 ===ξP ………………………10分 . ……………………12分 【编号】3795 【难度】一般 7. ．某班 50 名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。 部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于 90 分）的人数为 20。 （1）请补全频率分布直方图； （2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为 ，求 的概率； （3）在该班级中任取 4 人，其中及极格人数记为随机变 量 X，写出 X 的分布列（结果只要求用组合数 表示），并求出期望 E（X）。 【答案】解：（1）由图得，成绩在 的人数为 4 人， 所以在 的人为 16 人， 所以在 的频率为 ， 在 的频率为 ．………2 分 补全的频率分布直方图如图所示．………4 分 （2）由题得：成绩在 的有 8 人， 在 的为 16 人． 所以 的概率为 ．………6 分 （3） 的分布列为: 0 1 2 3 4 ξ 0 1 2 3 P 64 27 64 27 64 9 64 1 ξE 75.0= nm, 10|| >− nm ]110,100[ )100,90[ )100,90[ 32.0 )90,80[ 38.0 )80,70[ )100,90[ 10|| >− nm 69 32 2 24 1 16 1 8 = C CC X X ……………9 分 随 机 变 量 服 从 的 是 M=50,N=20,n=4 的 超 几 何 分 布 ， 所 以 期 望 ．…………12 分 【编号】3793 【难度】一般 8. ．5. 一个口袋中装有大小相同的 个红球（ 且 ）和 个白球，每次从中任取 两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用 表示一次取球中奖的概率 ； （Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为 ，求 的最大值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当 m 取得最大值时将 个白球全部取出后，对剩下的 个红 球作如下标记：记上 号的有 个（ ），其余的红球记上 号，现从袋中任取 一球,X 表示所取球的标号，求 X 的分布列、期望． 【答案】（Ⅰ）每次从 个球中任取两个，有 种方法． 它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有 种， 一次取球中奖的概率为 ．……4 分 （Ⅱ）设每次取球中奖的概率为 ，三次取球中恰有一次中奖的概率是： （ ）． 对 的导数 ． ……6 分 因而 在 上为增函数， 在 上为减函数． ∴当 ，即 ， 时， ．……… 8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共 20 个，则记上 号的有 个红球，从中任取一球，有 种取法，它们是等可能的．故 X 的分布列是： X ………10 分 ． ……12 分 【编号】3791 【难度】一般 9.．某超市为促销商品,特举办“购物有奖 100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满 10 元， 享受一次摇奖机会，购物满 20 元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所 示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小 球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中,落入 A 袋为一等 )(XP 4 50 0 20 4 30 C CC 4 50 1 20 3 30 C CC 4 50 2 20 2 30 C CC 4 50 3 20 1 30 C CC 4 50 4 20 0 30 C CC X 5 8 50 204)( =×=XE n 5n≥ n∈N 5 n p m m 5 n i i 1,2,3,4i = 0 5n + 2 5nC + 1 1 5nC C ( )( ) 1 1 5 2 5 10 5 4 n n C C np C n n+ = = + + p ( ) ( )21 3 2 3 31 1 3 6 3m P C p p p p p= = ⋅ ⋅ − = − + 0 1p< < m p ( )( )29 12 3 3 1 3 1m p p p p′ = − + = − − m 10, 3      m 1,13      1 3p = ( )( ) 10 1 5 4 3 n n n =+ + 20n = 4 9maxm = 0 10 20 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ( ) 1 1 1 3 1 3E X 0 1 2 3 42 20 10 20 5 2 = × + × + × + × + × = 奖，奖金为 2 元，落入 B 袋为二等奖，奖金为 1 元．已知小球每次遇到黑色障碍物时， 向左、右两边下落的概率都是 ． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率； （Ⅱ）某消费者购物满 20 元，摇奖后所得奖金为 X 元，试求 X 的分布列与期望； (Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者 刚好消费 20 元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算. 【答案】解：记“小球落入 袋中”为事件 ，“小 球落入 袋中” 为事件 ，则小球落入 袋中当且仅当小球一直 向左落下或 一直向右落下，故 ， …………………2 分 (I) 获得两次一等奖的概率为 . …………………4 分 （II）X 可以取 2,3,4 P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= …………………8 分 分布列为： 所以 E =2× +3× +4× =2.5. …………………10 分 (Ⅲ)参加摇奖,可节省 2.5 元，打折优惠,可节省 2.4 元,当然参加摇奖. ……12 分 【编号】3790 【难度】一般 10.．1. 符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取： ①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试 选拔）； ②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备 自主招生考试资格）； ③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）． 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖， 1 2 A A B B A ( ) 4 1 2 1 2 1 33 =    +    =AP ( ) ( ) 31 .4P B P A= − = ( ) ( ) 16 1APAPP =⋅= 23 9 ,4 16   =   1 2 1 3 6 ,4 4 16C × = 21 1 .4 16   =   ( )X 16 9 16 6 16 1 2 3 4X P 16 9 16 6 16 1 AB 则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试． 已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是 0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率 是 0.5，通过自主招生考试的概率是 0.8，高考分数达到一本分数线的概率是 0.6，高考 分数达到该大学录取分数线的概率是 0.3． （I）求这名同学参加考试次数 的分布列及数学期望； （II）求这名同学被该大学录取的概率． 【答案】解：（I） ， ………… （2 分） …………（3 分） …………（4 分） （或 ） 2 4 P 0.55 0.45 …………（6 分） （II）设该同学参加 2、4 次考试被录取的概率分别是 、 ，则 …………（8 分） ………（10 分） 该同学被该校录取的概率 0.723 …………（12 分） 【编号】3786 【难度】一般 11.．某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现 某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 ，科目 B 每次考试成绩合 格的概率均为 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ， 求 的数学期望 E . 【答案】解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 ，“科目A 补考合格”为事件 A2； “科目 B 第一次考试合格”为事件 B1 ，“科目B 补考合格”为事件 B2. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立， 则 . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 . (Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ξ 4,2=ξ 55.05.09.0)9.01()2( =×+−==ξP 45.0)5.01(9.0)4( =−×==ξP 45.055.01)4( =−==ξP ξ 9.245.0455.02 =×+×=ξE 1P 2P 48.05.09.03.01.01 =×+×=P 243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02 =×−×−×+××−×=P =+ 21 PP 2 3 1 2 ξ ξ ξ 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 3P A B P A P B= × = × = 1 3 ξ 1 1 1 2( 2) ( ) ( )P P A B P A Aξ = = +  故 答：该考生参加考试次数的数学期望为 . 【编号】3766 【难度】一般 12.．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为 a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽 取一个球，将其编号记为 b。求关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将该球放回袋中，然后再从袋中随机 取一个球，该球的编号为 n，若以(m,n)作为点 P 的坐标，求点 P 落在区域 内的概率。 【答案】解：（I）设事件 A 为“方程 有实根”因为 a>0,b>0，所以方 程 有实根的充要条件为 。基本事件共 12 个：（1，2），（1，3）， （1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4， 3），其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值。事件 A 中包含 6 个基本事件： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），则事件 A 发生的概率为 . （II）先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点 P(m,n)的所有可能 有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）， （3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共 16 个，落在区域 内的有（1，1），（1，2）（2，2），（3，1）共 4 个，所以点 P 落在区域 2 1 1 1 1 1 4.3 2 3 3 3 9 9 = × + × = + = 1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3) ( ) ( ) ( )P P A B B P A B B P A A Bξ = = + +      2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 9 = × × + × × + × × = + + = 1 2 2 2 1 2 1 2( 4) ( ) ( )P P A A B B P A A B Bξ = = +      1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ,3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 = × × × + × × × = + = 4 4 1 82 3 4 .9 9 9 3Eξ = × + × + × = 8 3 0, 5 0 x y x y − ≥  + − < 2 22 0x ax b+ + = 2 22 0x ax b+ + = a b≥ 6 1( ) 12 2P A = = 0, 5 0 x y x y − ≥  + − < 0, 5 0 x y x y − ≥  + − < 内的概率为 。 【编号】3213 【难度】一般 13.．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒 的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 （万盒） 4 4 5 6 6 （Ⅰ）该同学为了求出 关于 的线性回归方程 ，根据表中数据已经正确计 算出 ，试求出 的值，并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒，小红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所 有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ， 求 的分布列和数学期望． （附： ） 【答案】本小题主要考查概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运 算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分 13 分． （Ⅰ） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 因线性回归方程 过点 ， ∴ ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数： .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （Ⅱ） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 其分布列为 0 1 2 3 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 【编号】3069 【难度】一般 14.．2012 年 3 月 2 日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民 区中的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超 过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时 平均浓度的监测数据，数据统计如下： 组别 PM2.5（微克/立方 频数（天） 频率 1 4 x y y x ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0.6b = ˆa ξ ξ ˆˆa y bx= − 1 1(1 2 3 4 5) 3, (4 4 5 6 6) 55 5x y= + + + + = = + + + + = ˆ = +y bx a ( , )x y 5 0.6 6 3.2a y bx= − = − × = ˆ 0.6 6 3.2 6.8y = × + = 0,1,2,3,ξ = 3 1 2 5 4 5 3 3 9 9 10 5 40 10( 0) , ( 1) ,84 42 84 21 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = = = 2 1 3 4 5 4 3 3 9 9 30 5 4 1( 2) , ( 3) .84 14 84 21 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = = = ξ P 5 42 10 21 5 14 1 21 5 10 5 1 40 1 2 3 42 21 14 21 3Eξ∴ = × + × + × + × = 米） 第一组 (0,15] 4 0.1 第二组 (15,30] 12 0.3 第三组 (30,45] 8 0.2 第四组 (45,60] 8 0.2 第三组 (60,75] 4 0.1 第四组 (75,90) 4 0.1 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑， 判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平 均浓度符合环境空气质量标准的天数为 ，求 的分布列及数学期望 （ ）． 【答案】本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识， 考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分 13 分． 解 ： ( Ⅰ ) 众 数 为 22.5 微 克 / 立 方 米 , 中 位 数 为 37.5 微 克 / 立 方 米．……………………………………4 分 （Ⅱ）去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 （微克/立 方米）．…………………6 分 因为 ，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8 分 （Ⅲ）记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则 .………………9 分 随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 . 所以 ，…………………………………………11 ξ ξ E ξ 7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5× + × + × + × + × + × = 40.5 35> 9( ) 10P A = ξ 9(2, )10Bξ  2 2 9 9( ) ( ) (1 ) ( 0,1,2)10 10 k k kP k C kξ −= = − = 分 所以变量 的分布列为 0 1 2 …………………………………………12 分 （ 天 ） , 或 （天）. ……………………13 分 【编号】3000 【难度】一般 15.．某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w. （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望. 【答案】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随 机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以 事件 A 的概率为 . （Ⅱ）由题意，可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“ ”等价于事件“该学生在路上遇到 次红灯”（ 0，1，2，3，4）， ∴ ， ∴即 的分布列是 0 2 4 6 8 ∴ 的期望是 . 【编号】1257 【难度】较难 16.．（2009 全国卷Ⅰ理）（本小题满分 12 分） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 1 3 ξ ( ) 1 1 1 41 13 3 3 27P A    = − × − × =       ξ 2kξ = k k = ( ) ( )4 4 1 22 0,1,2,3,43 3 k k kP k C kξ −   = = =       ξ ξ P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 ξ 16 32 8 8 1 80 2 4 6 881 81 27 81 81 3Eξ = × + × + × + × + × = ξ ξ p 1 100 18 100 81 100 1 18 810 1 2 1.8100 100 100Eξ = × + × + × = 92 1.810E nPξ = = × = 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的 概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获 得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 【答案】【解析】：因为甲获胜的情况有两种：甲第三局和第四局胜，或者第三局第四 局甲乙各胜一局，第五局甲胜，故甲胜的概率为 P=0.6×0.6+ ×0.6×0.4× 0.6=0.648 （2）由已知我们知道 的可能取值为 2，3 故有 的分布列为 2 3 0.52 0.48 【编号】965 【难度】一般 17.．一个箱子中装有大小相同的 1 个红球,2 个白球,3 个黑球.现从箱子中一次性摸出 3 个 球,每个球是否被摸出是等可能的. (I)求至少摸出一个白球的概率； (Ⅱ)用 表示摸出的黑球数,写出 的分布列并求 的数学期望. 【答案】本小题考查等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知 识.考查运算求解能力和应用意识.满分 13 分. 解法一：(I)记“至少摸出一个白球”为事件 A,则事件 A 的对立事件 为“摸出的 3 个 球中没有白球”,则 P( ) ,……………………………………………………3 分 P(A)=1-P( )= ,即至少摸出一个白球的概率等于 .……………………………6 分 (Ⅱ) 的所有可能取值为 O、1、2、3.………………………………………………7 分 , , ξ ξ 1 2C ξ 52.04.04.06.06.0)2( =×+×==ξp 48.04.06.04.06.04.06.0)3( 1 2 1 2 =×××+×××== CCp ξ ξ ξ P 48.248.0352.02 =×+×=ξE ξ ξ ξ A A 5 1 3 6 3 4 == C C A 5 4 5 4 ξ 20 1)0( 3 6 3 3 === C CP ξ 20 9)1( 3 6 2 3 1 3 =•== C CCP ξ , . 的分布列为 ……11 分 ∴ ,即 的数学期望为 .…………13 分 解法二：(I)记“至少摸出一个白球”为事件 A,“摸出的 3 个球有且只有 1 个白球”为 事件 B,“摸出的 3 个球有且只有 2 个白球”为事件 C 则 P(B) , P(C) ,……………………………………………………………4 分 P(A)=P(B)=P(C) , 即至少摸出一个白球的概率等于 .…………………………………………………6 分 (II)同解法一. 【编号】647 【难度】较难 20 9)2( 3 6 1 3 2 3 =•== C CCP ξ 20 1)3( 3 6 3 3 === C CP ξ ξ 2 3 20 1320 9220 9120 10 =×+×+×+×=ξE ξ 3 2 5 3 3 6 2 4 1 2 =•= C CC 5 1 3 6 1 4 2 2 =•= C CC 5 4 5 1 5 3 =+= 5 4