2018届二轮复习（理） 等差数列与等比数列学案（全国通用）
第1讲 等差数列与等比数列
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．
2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．
热点一 等差数列、等比数列的运算
1．通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d；
等比数列：an＝a1·qn－1.
2．求和公式
等差数列：Sn＝＝na1＋d；
等比数列：Sn＝＝(q≠1)．
3．性质
若m＋n＝p＋q，
在等差数列中am＋an＝ap＋aq；
在等比数列中am·an＝ap·aq.
例1 (1)(2017届吉林二调)是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前10项和S10等于( )
A．－10 B．－5 C．0 D. 5
答案 C
解析 由题意，得a－a＝a－a，
即＝，
即－3d＝d，又因为d≠0，
所以a4＋a7＝a6＋a5＝0，则该数列的前10项和S10＝＝5＝0.故选C.
(2)(2017届武汉武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2 B．－1
C. D.
答案 B
解析 S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝3a2＋2，
得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B.
思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
跟踪演练1 (1)(2017届山西省太原市模拟)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于( )
A．8 B．6
C．4 D．3
答案 D
解析 由等差数列的性质可知，
2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6(a3＋a9)＝6×2a6＝12a6＝36，∴a6＝3.故选D.
(2)(2017届深圳一模)等比数列的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 A
解析 因为a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝2a，a3＝S3－S2＝6a，所以q＝3，a1＝a＝a＋b，所以＝－3，故选A.
热点二 等差数列、等比数列的判定与证明
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：
①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法
①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；
②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．
例2 (2017届东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.
(1)证明：{an－n}为等比数列；
(2)数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)证明 ∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
又a1－1＝2，
∴{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知an－n＝(a1－1)·2n－1＝2n，
∵bn＋1＝bn＋an－n，∴bn＋1－bn＝2n，
累加得到bn＝2＋＝2n (n≥2)．
当n＝1时，b1＝2，∴bn＝2n，
∴cn＝
＝
＝－.
∴Tn＝－.
思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．
(2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．
跟踪演练2 (2017·日照模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cncn＋2}的前n项和Tn.
(1)证明 ∵bn＋1－bn＝－
＝－
＝－＝2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
故2n＝，解得an＝.
(2)解 由(1)可得cn＝＝，
∴cncn＋2＝×＝2，
∴数列{cncn＋2}的前n项和为
Tn＝2
＝2
＝3－.
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．
例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn
2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．
思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．
跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足an＋1＝，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．
解 (1)由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，
得a1＝1，又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an⇒an＋1＝an，所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1.
(2)由an＋1＝，
得bn＝
＝n·n－1，
所以bn＋1－bn＝(n＋1)·n－n·n－1
＝(2－n)，
所以(bn)max＝b2＝b3＝，所以t≥.
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
答案 4
解析 设{an}的公差为d，
由得
解得d＝4.
2．(2017·浙江改编)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．
答案 充要
解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，
即S4＋S6＞2S5.
若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，
即21d＞20d，
∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
方法二 ∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0.
∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
3．(2017·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
答案 1
解析 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3，得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
4．(2017·江苏)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则
a8＝________.
答案 32
解析 设{an}的首项为a1，公比为q，
则解得
所以a8＝×27＝25＝32.
押题预测
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
押题依据 等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，
a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
2．(2017·安庆模拟)等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于( )
A．3 B．2或3
C．2 D．6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点．
答案 C
解析 设公比为q,5a4为12a3和2a5的等差中项，可得10a4＝12a3＋2a5,10a3q＝12a3＋2a3q2，得10q＝12＋2q2，解得q＝2或3.又a3－3a2＝2，所以有a2q－3a2＝2，所以有q
＝2，故选C.
3．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
押题依据 本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向．
答案 A
解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16a，即，即有m＋n－2＝4，
亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)
＝≥＝，
当且仅当＝，即n＝2m＝4时取得最小值.
4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
押题依据 先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉．
答案 C
解析 由等比数列性质得，anan＋2＝a.
①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)；
②f(an)f(an＋2)＝
＝f 2(an＋1)；
③f(an)f(an＋2)＝＝＝f 2(an＋1)；
④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2
＝f2(an＋1)．
故选C.
A组 专题通关
1．(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知等差数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11等于 ( )
A．31 B．32
C．61 D．62
答案 A
解析 由题设可得2d＝6⇒d＝3，
故a11＝a1＋10d＝31，故选A.
2．(2017·海南省海南中学、文昌中学联考)在正项等比数列{an}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为( )
A．64 B．32
C．16 D．8
答案 C
解析 在正项等比数列{an}中，
∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，
∴a1＋a7≥2＝2＝2×8＝16，
当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∴a1＋a7的最小值为16，故选C.
3．(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
答案 A
解析 由已知条件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.所以S6＝6×1＋＝－24.
故选A.
4．(2017届三湘名校教育联盟联考)一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )
A．13 B．12
C．11 D．10
答案 B
解析 设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，
可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，
∵Tn＝a1a2…an，∴T＝(a1a2…an)2
＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，
∴n＝12.
5．(2017届河南省高中毕业年级考前预测)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了( )
A．96里 B．48里
C．192 里 D．24里
答案 A
解析 由题意，得该人每天走的路程形成以为公比、前6项和为378的等比数列，设第一天所走路程为a1，则＝378，解得a1＝192，a2＝96，即第二天走了96里．故选A.
6．(2017·广东省广雅中学、江西省南昌二中联合测试)在公差不为0的等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，则a5＝________.
答案 13
解析 设等差数列的公差为d，
则a1＋a3＝2a1＋2d＝8⇒a1＋d＝4，
又由a4为a2和a9的等比中项，
所以a＝a2a9⇒(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，
即d＝3a1，联立方程组，解得a1＝1，d＝3，
所以a5＝a1＋4d＝1＋4×3＝13.
7．(2017届三湘名校教育联盟联考)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为______．
答案 16
解析 S10＝＝40⇒a1＋a10＝a3＋a8＝8，
a3·a8≤2＝2＝16，
当且仅当a3＝a8＝4时“＝”成立．
8．(2017届云南师大附中月考)已知数列{an}满足a1＝2，且an＝(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
答案
解析 由an＝，得＝＋，
于是－1＝(n≥2，n∈N*)．
又－1＝－，∴数列是以－为首项，为公比的等比数列，故－1＝－，
∴an＝(n∈N*)．
9．(2017届辽宁省大连育明高级中学期末)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则b2 017＝________.
答案 1
解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，
构成以8项为周期的周期数列，所以b2 017＝b1＝1.
10．(2017·内蒙古包头模拟)已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
解 (1)当n＝1时，由S1＝2a1－3×1，得a1＝3；
当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，可得a2＝9；
当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.
(2)令(a2＋λ)2＝(a1＋λ)·(a3＋λ)，
即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3.
由Sn＝2an－3n及Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式相减，得an＋1＝2an＋3.
由以上结论得an＋1＋3＝(2an＋3)＋3＝2(an＋3)，
所以数列{an＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，
因此存在λ＝3，使得数列{an＋3}为等比数列，
所以an＋3＝(a1＋3)×2n－1，an＝3(2n－1)(n∈N*)．
B组 能力提高
11．(2017·安徽省蚌埠市教学质量检查)数列是以a为首项，b为公比的等比数列，数列满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若为等比数列，则a＋b等于( )
A. B．3
C. D．6
答案 B
解析 由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列，所以b≠1.由an＝abn－1，则bn＝1＋＝1＋－，得cn＝2＋n－·＝2－＋n＋，要使为等比数列，必有得a＋b＝3，故选B.
12．(2017届吉林省吉林市普通中学调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列满足xn＋1＝xn－，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列为牛顿数列，设an＝ln ，已知a1＝2，xn>2，则的通项公式an＝________.
答案 2n
解析 ∵ 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，
∴ 解得
∴f(x)＝ax2－3ax＋2a，
则f′(x)＝2ax－3a.
则xn＋1＝xn－
＝xn－＝，
∴＝
＝＝2，
则数列an是以2为公比的等比数列，又∵a1＝2 ，
∴ 数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则an＝2·2n－1＝2n.
13．(2017届深圳一模)已知数列满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an－2，若n＝1，则λ∈R；
若n>1，则λ>－，所以λ≥0.
当n为偶数时，由an－2，所以λ>－，即λ≥0.
综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．
14．(2017届江西鹰潭一中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn；
(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．
解 (1)设数列{an}的公差为d，
由a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，a·b＝24，
得a1＋a10＝24，又S11＝143，解得a1＝3，d＝2，
因此数列的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)，
所以＝，
所以Mn＝
＝.
(2)因为2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)，且a1＝3，
可得Tn＝＋，
当n＝1时，b1＝；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝，此时有＝4，若{bn}是等比数列，则有＝4，而b1＝，b2＝，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{bn}为等比数列．
