2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一3月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一3月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一3月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知圆,圆,则两圆的位置关系为（ ）‎ A．相离 B．相外切 C．相交 D．相内切 ‎【答案】A ‎【解析】圆,即，圆心为(0,3)，半径为1，‎ 圆,即，圆心为(4,0)，半径为3.‎ ‎.‎ 所以两圆相离，‎ 故选A.‎ ‎2．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）‎ A．81.2, 84.4 B．78.8 , 4.4‎ C．81.2, 4.4 D．78.8, 75.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】一组数据中的每个数据减去同一个数值后，均值会相应变小，方差不会发生改变，由此得出结果。‎ ‎【详解】‎ 解：因为一组数据中的每个数据都减去80，且新数据的平均数为1.2‎ 所以原数据的平均数为81.2‎ 由方差公式，‎ 可知每一个数都减去相同的值后，方差不会改变 故方差还是4.4‎ 答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数、方差的知识，若原数据为的平均数为，方差为，则新数据的平均数为，方差为 ‎，掌握上述性质，问题就会迎刃而解。‎ ‎3．执行下面的程序，则输出的s的值是（ ）‎ A．11 B．15 C．17 D．19‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意和循环结构框图，得到i=3和i=5时的s值，i=7时不满足条件退出循环，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，此时仍满足条件“i<6”，因此再循环一次，即i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以s＝15.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是框图中的循环结构，计算输出结果，对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.‎ ‎4．将八进制数化为二进制数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数．‎ ‎【详解】‎ ‎,选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不同进制之间转化，考查基本求解能力.‎ ‎5．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）‎ ‎50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48‎ ‎22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11‎ A．23 B．21 C．35 D．32‎ ‎【答案】B ‎【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，于是将两个数字构成的编号依次写出，然后读取出在01，02，…，39，40编号内编号（重复的算一次），依次选取5个不重复的即可得到。‎ ‎【详解】‎ 解随机数表第1行的第6列和第7列数字为6,4‎ 所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下 ‎64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45，…‎ 其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16,26,24,23,21, …‎ 故第5个编号为21.‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽样中的随机抽样法，理清本题中随机抽样的规则是解题的关键，依次写出落在规定范围内的不重复的编号，从而解决问题。‎ ‎6．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为X(单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的程序框图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是（ ）‎ A．0.20 B．0.80 C．0.60 D．0.40‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先要理清S、T的含义，S是用来计算作业时间大于60的人数，T则用来核算输入的数据有没有达到1000个，理清了含义，就可以得出作业时长不大于60的人数，从而解题。‎ ‎【详解】‎ 解：首先理清S与T的含义，‎ S是用来计算作业时间大于60的人数，‎ T则用来核算输入的数据有没有达到1000，‎ 因为输出S的值为600，‎ 所以作业时间大于60的总人数为600人，‎ 则作业时间不大于60的人数为400人，‎ 所以平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是0.4‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图、统计的相关知识，理清程序框图中每一变量的含义是解决问题的关键，再使用频率的相关知识便能解决问题。‎ ‎7．类似于十进制中的逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0，1，2，…，9和字母M，N作为计数符号，这些符号与十进制的数字对应关系如下表：‎ 十二进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ M N 十进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 例如，因为563＝3×122＋10×12＋11，所以十进制中的563在十二进制中被表示为3MN(12)．那么十进制中的2008在十二进制中被表示为（ ）‎ A．11N4(12) B．1N25(12) C．12N4(12) D．1N24(12)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，十二进制的运算规则为个位为，十位为，百位为，千位为，以此计算。所以2008＝1×123＋1×122＋11×12＋4‎ ‎【详解】‎ ‎2008＝1×123＋1×122＋11×12＋4，即2008＝11N4(12)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生推理计算的能力，十二进制的运算规则为个位为，十位为，百位为，千位为，以此计算。‎ ‎8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ‎，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知的流程图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，当满足时，得出此时的值，由此可以得出答案。‎ ‎【详解】‎ 解：由程序框图知：‎ 第一次循环：初始值为0，，，故，不满足；‎ 第二次循环：，，故，不满足；‎ 第三次循环：，，故，刚好满足；‎ 此时，满足，必须退出循环，故，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决。‎ ‎9．在空间直角坐标系中,已知 .若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据顶点的坐标，分别向三个坐标平面正投影，找出正投影的图形形状、边长等，从而解出三个图形的面积，进而比较大小。‎ ‎【详解】‎ 解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；‎ 三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；‎ 三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；‎ 所以得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点的正投影知识，点的正投影是将点向面作垂线，垂足便是该点正投影对应的点，这里其实是将正投影转化为我们熟悉的线面垂直问题，如何作垂直，找出垂足是解决本问题的关键。‎ ‎10．若圆M:与圆N:关于直线对称，则（ ）‎ A．－1 B．1 C．－2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】两圆关于直线对称，故得到两圆圆心关于对称，即两圆的圆心的中点在直线上，两圆圆心构成直线与直线垂直，从而得到两个关于的方程，解决问题。‎ ‎【详解】‎ 解：圆的圆心为（1,4），圆的圆心为（3,2），的中点为（2,3）‎ 因为两圆关于直线对称 所以两圆的圆心关于直线对称 所以，解得：，‎ 所以，故选A ‎【点睛】‎ 圆关于圆对称的问题其本质是在半径相等的情况下，转化为点关于点对称的问题，将曲线的问题转化为点的问题，这是解决几何问题常见的方法。‎ ‎11．已知两点，到直线的距离分别是，，则满足条件的直线共有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】根据圆的概念和切线的性质，分别以A、B为圆心，以，为半径作圆，满足题意的直线为两圆的公切线，进而求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，分别以，为圆心，，为半径作两个圆，如图所示.‎ ‎ ‎ ‎，即，两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线共有3条.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的概念以及切线的性质，考查了两个圆的位置关系以及它们的公切线，解答本题的关键是将点与直线的关系转化为两个圆的公切线问题.‎ ‎12．已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（ ）‎ A． B．(1,5) C．(2,5) D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出，根据题意可得两点到直线的距离为2，得的方程为 ，当圆上只有一个点到直线的距离为2时，求得半径的值，当圆上只有3个点到直线的距离为2时，求出半径，从而求出满足条件的半径的取值范围，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 根据和的面积为5，可得两点到直线的距离为2，‎ 由于的方程为，‎ 若圆上只有一个点到圆的距离为2，‎ 则有圆心到直线的距离，‎ 若圆上只有三个点到圆的距离为2，‎ 则有圆心到直线的距离，‎ 所以实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中合理应用直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．某校共有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师的健康状况，抽取一个容量为40的样本，则用分层抽样的方法抽取高级教师、中级教师、初级教师的人数分别为__________、________、________．‎ ‎【答案】12、20、8‎ ‎【解析】试题分析：抽取比例为，所以 ‎【考点】分层抽样 ‎14．某市物价部门对本市5家商场某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示，由散点图可知，销售量y与价格之间有较好的线性相关关系，若其线性回归直线方程是，则_______. ‎ 价格 ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量 ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎15．圆与圆 的公共弦长的最大值是____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将两圆分别化为标准方程，得到它们圆心和半径，圆心都在直线上运动，半径分别为1和，两圆相交弦经过半径较小圆的圆心时，公共弦长达到最大值，由此得到答案。‎ ‎【详解】‎ 解：圆化成标准形式为，‎ 得，‎ 所以该圆是以为圆心，半径为1的圆；‎ 圆化成标准形式为，‎ 得，‎ 所以该圆是以为圆心，半径为的圆；‎ 两圆的圆心都在直线上运动，‎ 当两圆相交且相交弦经过小圆的圆心时，弦长最大，此时弦长为2.‎ 即两圆公共弦长的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化、求公共弦长的最大值、圆与圆的位置关系等问题，解题时应注意熟练综合应用这些知识，属于中档题。‎ ‎16．若直线y=x+t与方程=所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数t的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出方程所表示的图象，结合直线与圆的位置关系的判定，即可求解答案。‎ ‎【详解】‎ 由方程平方得方程，‎ 所以方程对应的曲线是以为圆心，半径为1的右半圆，‎ 当直线经过点时，直线和曲线有两个不同的交点，‎ 此时，得，‎ 当直线在第四象限与圆相切时，有一个交点，‎ 此时圆心到直线的距离为，‎ 得，解得（舍去）或，‎ 要使得直线和曲线有两个不同的交点，则直线位于切线和之间，‎ 则满足，即实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中根据题意画出方程所表示的图象，结合直线与圆的位置关系的判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ 三、解答题 ‎17．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数；‎ ‎（2）用秦九韶算法求多项式在时的值．‎ ‎【答案】（1）57是1995与228的最大公约数．（2）当x=2时，多项式的值是101．‎ ‎【解析】试题分析：（1），，，因此是与的最大公约数；（2），，，，，，所以，当时，多项式的值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：，，‎ 因此57是1995与228的最大公约数.‎ ‎（2）解：‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 所以，当时，多项式的值是101.‎ ‎【考点】辗转相除法，秦九昭算法．‎ ‎18．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.‎ ‎（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；‎ ‎（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. ‎ 参考数据： 参考公式： .‎ ‎【答案】(1) (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 ‎【解析】分析：（1）由题意，计算，，求出，，即可写出回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中回归方程，计算时的值即可.‎ 详解：（1）‎ 月份 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 均价 ‎0.95‎ ‎0.98‎ ‎1.11‎ ‎1.12‎ ‎1.20‎ 计算可得，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 所以关于的回归直线方程为.‎ ‎（2）将代入回归直线方程得，‎ 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.‎ ‎19．某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2018级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：‎ 南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.‎ 北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.‎ ‎(1)根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论；‎ ‎(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为cm，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义.‎ ‎【答案】（1）见解析部分；（2）s＝42.6，s表示10位南方大学生身高的方差，是描述身高的离散程度的量．s值越小，表示身高越整齐，s值越大，表示身高越参差不齐．‎ ‎【解析】（1）根据题意画出茎叶图即可，然后根据茎叶图写出统计结论．（2）由框图可得s表示样本数据的方差，然后根据题中数据求出s即可，然后说明它的统计学意义．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意画出茎叶图如图所示．‎ 统计结论(给出下述四个结论供参考)：‎ ‎①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；‎ ‎②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；‎ ‎③南方大学生的身高的中位数为169.5 cm，北方大学生的身高的中位数是172 cm；‎ ‎④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较为分散．‎ ‎（2）由程序框图可得s表示10位南方大学生身高的方差． ‎ 由题意得10位南方大学生身高的平均数，‎ 故方差为．‎ s是描述身高的离散程度的量，它的统计学意义是：s的值越小，表示身高越整齐，s的值越大，表示身高越参差不齐．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用统计学的知识解决实际问题，考查综合运用知识解决问题的能力，解题的关键是根据统计的有关概念进行计算、然后给出结论．由于此类问题一般涉及到大量的计算，因此解题时要注意计算的准确性．‎ ‎20．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）、平均分、众数和中位数. ‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 及格率为75%；平均分：71；众数为75；中位数约为73.33‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得到成绩落在[70，80）上的频率，从而补全频率分布直方图；‎ ‎（2）及格率等于1减去不及格的频率，平均分可以由平均分计算公式得到，众数可以观察频率分布直方图得到，中位数采用待定系数法，设为a，然后根据（a-70）×0.03=0.1解得。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.3‎ 补全后的直方图为： ‎ ‎（2）由 可得及格率为75%； ‎ 平均分 ； ‎ 众数为75； ‎ 因为前三组的频率之和为0.4，前四组的频率之和为0.7，设中位数为a ,‎ 则由（a-70）×0.03=0.1解得a=73.33，‎ 所以本次考试成绩的中位数约为73.33.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图、用样本估计总体等问题，频率分布直方图中每一个矩形的面积为相应组的频率，且矩形面积之和为1，同时考查数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎21．已知圆和定点,由圆外一动点向圆引切线,切点为,且满足.‎ ‎(1)求证:动点在定直线上；‎ ‎(2)求线段长的最小值并写出此时点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,所以，从而得解；‎ ‎（2）由,所以的最小值即为的最小值,过点O作直线的垂线求垂足即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明:由,∴‎ 即动点在定直线上 ‎(2)解:由,所以的最小值即为的最小值,‎ 又点在直线上,所以 此时直线的方程为,联立直线 解得点.‎ ‎22．已知圆与轴交于0，两点，圆过0，‎ 两点，且直线与圆相切；‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆上一动点，直线与圆的另一交点为，在平面内是否存在定点使得始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且为．‎ ‎【解析】试题分析：(1)圆的一般方程,因为过，可得，．由直线与圆相切可得,则方程可解；(2)设直线方程为,联立,可得的坐标，联立,可得的坐标，由此可得的垂直平分线方程,可知其过定点.‎ 试题解析： （1），，设圆的方程为，易得，．‎ 故，由得，故的方程为．‎ ‎（2）存在，设直线方程为，分别与、圆联立 与求额的，‎ ‎，中点，中垂线方程为：，化简为：恒过定点即为所求点．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程.‎