2018-2019学年河北省石家庄市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年河北省石家庄市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

石家庄二中2018~2019学年度高二年级第一学期 期中考试数学(理)试卷 命题人:吴建国审题人:朱秀华考试时间为120分钟总分150分 一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共6分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1.双曲线的实轴长是( )‎ A.2 B. C.4 D. ‎ ‎2.若平面a与的法向量分别是,,则平面a与的位置关系是( )‎ A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 ‎3.已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上,则椭圆的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若平面的一个法向量为,A(1,0,2),B(0,-1,4), ,则点A到平面的距离为( )‎ A.2 B.1 C. D. ‎ ‎6.已知直线和直线,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是( ) ‎ A. B. C. 2 D. ‎ x2 y2‎ ‎7.椭圆的左右焦点分别为,点P是椭圆上的一点,已知,则的面积为( )‎ A.12 B.10 C.9 D.8‎ ‎8.已知直三棱柱中,∠ABC=120°,AB=2, ,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.若直线l:y=ax-1与抛物线恰好有一个公共点,则实数a的值构成的集合为( )‎ A.{-1,0} B. C. D. ‎ ‎10.直线kx-y-2k+2=0恒过定点A,若点A是双曲线的一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )‎ A.x+4y-10=0 B.2x-y-2=0 C.4x+y-10=0 D.4x-y-6=0‎ ‎11.如图, 是椭圆与双曲线的公共焦点,A,B分别是,在第二、四象限的公共点若四边形为矩形,则的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(m>0,n>0)有共同的焦点,且在第一象限的交点为P,满足 (其中O为原点)设,的离心率分别为当取得最小值时, 的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.设椭圆(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于4,则曲线的标准方程为______.‎ ‎14.在正方体中,M为棱的中点,则直线与平面MBC所成角的正弦值为______.‎ ‎15.已知分别是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过的直线是圆的切线,则椭圆的长轴长为______.‎ ‎16.已知双曲线 (b>0)的左右焦点分别为,过作直线交双曲线的左支于点A,过作直线的垂线交双曲线的左支于点B,若直线AB过,则的内切圆圆心到的距离为______.‎ 三、解答题(本题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上,离心率,短轴长为4.‎ ‎(I)求椭圆的方程 ‎(Ⅱ)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,求AB的中点坐标及弦长.‎ ‎18.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.‎ ‎(I)求证:MN∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值.‎ ‎19.(12分)已知抛物线与直线l:y=k(x+1)相交于A、B两点,点O为坐标原点.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(Ⅱ)若△OAB的面积等于,求直线的方程.‎ ‎20.(12分)已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为,‎ ‎(1)求双曲线C的渐近线方程.‎ ‎(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.‎ ‎21.(12分)抛物线的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.‎ ‎(1)若,求直线AB的斜率;‎ ‎(Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.‎ ‎22.(12分)已知动点M到定直线x=-4的距离是它到定点的距离的2倍.‎ ‎(I)求动点M的轨迹方程.‎ ‎(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线与动点M的轨迹相交于不同的两点A,B,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ 数学（理）试卷答案 一、选择 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D C D A C D C D A A 二、填空 ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由已知，，2b=4，∴b=2‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程为： ……………………4分 ‎（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），‎ ‎∴直线AB方程为：y=2(x-1) …………………………5分 设 由 得 解得 …………………………7分 设AB中点坐标为 则 所以AB的中点为 …………………………9分 ‎∵，‎ ‎∴ …………………………10分 ‎18.解:如图,以A为原点;分别以方向为x轴y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4), ‎ D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0) …………………………2‎ ‎(I)证明: , .设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则 ，即.不妨设z=1,可得n=(1,0,1) ……………………4分 又,可得 …………………………5分 因为平面BDE,所以MN//平面BDE. …………………………6分 ‎(Ⅱ)易知为平面CEM的一个法向量 …………………………7分 设为平面EMN的法向量,‎ 则，‎ 因为, ,所以。‎ 不妨设y=1,可得. …………………………9分 因此有,‎ 于是. …………………………11分 所以二面角C-EM-N的正弦值为. …………………………12分 ‎19.解:(Ⅰ)由题意可知:k≠0,‎ 联立 整理得:‎ 设，‎ 显然: ‎ ‎∴ ………………………………14分 ‎∴ …………………………6分 ‎(Ⅱ)∵ ……………………9分 ‎∴‎ 解得: …………………………11分 ‎∴直线的方程为:2x+3y+2=0或2x-3y+2=0 …………………………12分 ‎20解:(Ⅰ)由题意得,∴ …………………………2分 ‎∴,即 所以所求双曲线的渐近线方程为 …………………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得当a=1时,双曲线C的方程为 …………………………7分 设A、B两点的坐标分别为,线段AB的中点为,‎ 由得，‎ ‎△>0,且 …………………………10分 ‎∵点在圆上,∴,:m=±1 …………………………12分 ‎21.解:(Ⅰ)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得 设，‎ 则 …………………………2分 因为,所以.(3) …………………………4分 联立(1)(2)和(3),消去,得,所以.‎ 所以直线AB的斜率是或 …………………………6分 ‎(Ⅱ)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等,‎ 所以四边形OACB的面积等于 因为 …………………………10分 所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4 …………………………12分 ‎22.解:(Ⅰ)设M(x,y)(x>-4),‎ 由题意得 …………………………2分 即 …………………………4分 ‎(Ⅱ)假设存在符合题意的直线,‎ 由题意知直线斜率存在,设直线的方程为y=k(x-2)+1,‎ 由,‎ 消去y得 由得6k+3>0,解得1‎ 设,‎ 则, …………………………8分 由得 则 即 所以 整理得,解得 …………………………10分 又,所以 故存在直线满足条件,其方程为,即x-2y=0 …………………………12分 ‎ ‎