湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷

湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷

数学试题 一、选择题 ‎1.已知命题对任意，都有，则命题的否定为( )‎ A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题否定是特称命题的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】由于原命题是全称命题，所以其否定是特称命题，注意到要否定结论，所以C选项正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.设，则“为偶函数”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是偶函数，求出的值，即可判断出“为偶函数”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【详解】由于函数为偶函数，则，得，‎ 因此，“为偶函数”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也涉及了利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎3.若，则实数λ的值是(　　)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. －2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，故选D.‎ 考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直 ‎4.为了解某社区居民有无收看“青运会开幕式”，某记者分别从某社区岁，岁，岁的三个年龄段中的人，人，人中，采用分层抽样的方法共抽查了人进行调查，若在岁这个年龄段中抽查了人，那么为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样对应比例关系列方程,解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以x=240.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎5.已知数列满足，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.‎ ‎【详解】令，则 令，则 令，则 数列为周期为的周期数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.‎ ‎6.设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为曲线上任一点处切线斜率为，则可知g(x）=cosx,因此可知函数，可知函数为偶函数．故排除选项A,B，然后看选项C,D，当x取正数且趋近于0时，函数值也趋近于0，故选C．‎ 考点：本试题考查了函数图像的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是能通过解析式分析函数的奇偶性和对称性，以及特殊点的函数值，利用这些知识来逐一的判定，属于基础题．‎ ‎7.在正三棱柱中，，则异面直线与所成的角是（ ）‎ A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不妨设 如图连接 ，则即为异面直线与所成的角（或其补角），则，‎ 选C ‎8.与圆外切，又与轴相切圆的圆心的轨迹方程是（ ）‎ A. B. （）和 C. （） D. （）和（）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 圆化为，圆心，半径，设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即，当时，化简有，即，‎ 当时，化简有，即，故选择D.‎ 点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点满足定义，它到准线的距离为，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.‎ 另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.‎ ‎9.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：‎ 金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，‎ 其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，‎ 所以2类元素相生的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎10.已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，若满足 内切圆的周长等于的点恰好有2个，则（ ）‎ A. 20 B. 25 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆对称性，满足题意的点只有两个，则点是椭圆短轴端点．再由的面积建立的方程，从而求解．‎ ‎【详解】若满足内切圆的周长等于的点恰好有2个，所以是椭圆短轴端点，又由内切圆的周长等于，得其半径为，∵，∴，即，，．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，利用椭圆的对称性得出动点是椭圆的端点，由内切圆周长得出圆半径，由的面积建立的方程，从而求解．这是三角形内切圆与三角形边长的一个联系．‎ ‎11.已知在实数集上的可导函数，满足是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于为奇函数，故函数图象关于对称，由于函数单调递增且，而函数，，且当时，即的增长速度比的要快，所以当时，.由此选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的图象与性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查不等式的解集和不等式的转化由于函数是由函数向左平移个单位所得，故原函数关于成中心对称图形，且左右两边单调性一致.当不等式两边的数同号时，两边取倒数要变号.‎ ‎12.已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，然后利用双曲线的定义和勾股定理可求得（用表示），再由得出的不等关系．‎ ‎【详解】∵，∴，记，，则，又①，∴，∴，②，由①②得，又，∴，解得，即．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率取值范围，一般要列出关于的不等关系，再转化为关于离心率的不等式，然后可求解．本题中首先得出直角三角形，然后利用双曲线的定义及勾股定理求得到两焦点的距离，结合已知可得出的不等关系．‎ 二、填空题 ‎13.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得知，不等式对任意恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，.‎ 根据题意得知，不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，‎ 由于函数在区间上单调递增，则，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，解题时要熟悉函数的单调性与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，作垂直抛物线的准线于，则，由抛物线的定义得点到该抛物线焦点的距离．‎ 考点：考查抛物线的定义及其几何性质．‎ ‎15.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则直线与平面所成的角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由题中条件可得出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值，再利用同角三角函数的平方关系可求出答案.‎ ‎【详解】设，平面，与平面所成的角为，则，‎ 同理可知，直线与底面所成的角为，.‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、、.‎ 设平面的一个法向量为，，.‎ 由，得，令，可得，，‎ 所以，平面的一个法向量为，‎ ‎，设直线与平面所成的角为，‎ 则，.‎ 因此，直线与平面所成的角的余弦值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也涉及了直线与平面所成角的定义，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f′（x）=﹣ex﹣1，令﹣ex﹣1，进一步得 ∈（0，1），再求g′（x）=a﹣2sinx，令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把l1⊥l2转化为集合间的包含关系求解即可．‎ 详解】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1 ‎ ‎∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），‎ 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，‎ ‎∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，‎ 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，‎ 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，‎ 则，解得﹣1≤a≤2．‎ 故答案为：[－1,2]‎ ‎【点睛】本题考查了两个函数在点的切线斜率间的关系，利用了导数的几何意义，把问题转化为集合间的包含关系是解题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知命题，使；命题，使.‎ ‎（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若p为假命题，，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围．‎ ‎【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，‎ 即，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）为真命题，为假命题，则一真一假.‎ 若为真命题，则有或，若为真命题，则有.‎ 则当真假时，则有 当假真时，则有 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎18.在中，角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理与两角和正弦公式可得，从而得到角的大小；‎ ‎（2）利用面积公式可得，结合余弦定理可得从而得到的周长.‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理可得，‎ 即.‎ 又角为的内角，所以，所以.‎ 又，所以.‎ ‎（2）由，得.‎ 又，‎ 所以，所以的周长为.‎ ‎【点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．‎ ‎（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．‎ ‎19.某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近个季度的销售额数据统计如下表（其中表示年第一季度，以此类推）：‎ 季度 季度编号x 销售额y（百万元）‎ ‎（1）公司市场部从中任选个季度的数据进行对比分析，求这个季度的销售额都超过千万元的概率；‎ ‎（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司的销售额.‎ 附：线性回归方程：其中，‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）关于的线性回归方程为，预测该公司的销售额为百万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这个季度的销售额都超过千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；‎ ‎（2）计算出和的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出和的值，可得出关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程即可得出该公司的销售额的估计值.‎ ‎【详解】（1）从个季度的数据中任选个季度，这个季度的销售额有种情况：、、、、、、、、、‎ 设“这个季度的销售额都超过千万元”为事件，事件包含、、，种情况，所以；‎ ‎（2），，‎ ‎，.‎ 所以关于的线性回归方程为，‎ 令，得（百万元）‎ 所以预测该公司的销售额为百万元．‎ ‎【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.‎ ‎（1）当时，证明：直线平面；‎ ‎（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证线面平行只需在面内找一线与之平行即可（2）求二面角则可直接根据空间直角坐标系写出两平面的法向量根据向量夹角公式求解即可 试题解析：‎ 以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，，，则，，，，.‎ ‎（1）当时，，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，则 由，得，于是可取.‎ 设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.‎ 若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.‎ 故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.‎ 点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性 ‎21.已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，求得直线的方程，再由点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长．‎ ‎【详解】（1）由题可知，，，则，‎ 直线的方程为，即，所以，‎ 解得，，‎ 又，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线与圆相切，‎ 所以，即.‎ 设，，‎ 联立，得，‎ 所以 ，‎ ‎，，‎ 所以 .‎ 又，所以.‎ 因为 ，‎ 同理.‎ 所以，‎ 所以的周长是，‎ 则的周长为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调减区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，即可得出该函数的减区间和增区间；‎ ‎（2）由题意得出不等式对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析出函数在区间 上的单调性，得出该函数的最大值，结合，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，其定义域为，‎ 则，当时，当时，‎ 故函数的单调递增区间为，单调减区间为；‎ ‎（2）不等式，即，即，‎ 由题可知在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ ‎①若，则，函数上单调递增，‎ 所以，则，不符合题意；‎ ‎②若，则当时，函数在上单调递增，‎ 所以当时，，则，不符合题意；‎ ‎③若，则在上恒成立，函数在上单调递减，‎ 所以，所以，符合题意．‎ 综上，，故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立，一般要转化为与函数最值相关的不等式来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎